Lineare Abbildung

Eigenschaften
1. Verknüpfung
  1. Addition
  2. Skalarmultiplikation
2. Rang
  1. Seien M und N quadratische Matritzen und A m x n
    1. rang(A) = rang(M * A * N)
  2. rangF = dim_K F(V)
  3. rang(A) = rang(A,b)
3. Nullvektor aus V bildet stehts auf Nullvektor in W ab
4. Bilder l.a. Vektoren in V sind ebenfalls l.a. in W
5. Urbilder l.u. Vektoren in V sind ebenfalls l.u. in W
Darstellungsmatrix M
1. Berechnung
  1. Einsetzen von e1,..,en
  2. Zusammenfassen zu einer Matrix
2. rangF = rangM_F
3. A Element Mat_K(n,n) ist invertierbar wenn rangA = n
4. Spalten bestehen aus F(e_i) wobei e_i Standardbasisvektoren
Lineare Abbildung durch Basisvektoren
1. Für Basis von V mit m Vektoren existiert genau eine Abb auf einen beliebigen Vektor aus W
Morphismen
1. Homomorphismus
  1. alternativer Begr. für K-lin. Abb
2. Endomorphismus
  1. V ist End_K(V)
  2. F: V->V
3. Isomorphismus
  1. bijektiver Homomorphismus
  2. F: V->W
  3. V und W sind isomorph
4. Automorphismus
  1. bijektiver Endomorphismus
Kern und Bild
1. Kern-Bild Satz
2. Kern
  1. Injektivitätskriterium
    1. Injektiv, wenn Kern trivial
  2. Menge aller Vektoren für die gilt F(v) = 0w ist Teilmenge von V
3. Bild
  1. Menge aller Vektoren für die gilt F(v) = w ist echte Teilmenge von W

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