EL CONCEPTO DE LA MULTIPLICACION

Ya en el libro VII de Los Elementos, Euclides define MxN como M veces N, donde M y N son números que representan respectivamente M veces y N veces una unidad. Euclides asocia al producto una unidad plana (bidimensional). Euclides define una unidad como aquello en virtud de lo cual cada una de las cosas que hay, se llama una. Euclides sigue el marco de la Metafísica de Aristóteles, para quién el uno no tiene otra característica que la de ser medida de alguna multiplicidad, y el número, la de ser una multiplicidad de la medida. Es así con razón, que el uno no es considerado como un número porque la unidad de medida no es una pluralidad de medidas. En la metafísica de Aristóteles se llama multiplicidad aquello que es en potencia divisible en partes no continuas y magnitud aquello que es divisible en partes continuas. En 1637 Descartes extiende el concepto de multiplicación a magnitudes homogéneas en el ámbito de la proporcionalidad, usando como unidad la medida de un trazo cualquiera. Descartes define el producto como la medida del trazo que es a la medida M de un trazo dado, como la medida N de otro trazo dado es a la unidad. En esta definición la unidad no es el 1 indivisible, sino una medida arbitraria dada, la que en la actualidad correspondería a cualquier real positivo. El Ministerio de Educación de Japón define la multiplicación como “the number of unit when the unit is given”, digamos “el valor de la medida que equivale al valor de la unidad”, igual a la definición de Descartes. Si la medida y el valor de la unidad son números naturales, el producto es “la suma repetida de la cantidad que corresponde a la unidad”, pero cuando no lo es, la misma definición sirve para multiplicar decimales, fracciones y medidas cualesquiera. La definición de Descartes, adoptada en los programas oficiales de Japón ya en 1958, es la difundida por Freudenthal (1983) para la enseñanza de la multiplicación. Esta interpretación conlleva una doble ruptura con respecto a la definición euclidiana. Por un lado, la unidad deja de ser indivisible, y por otro el producto puede ser de la misma naturaleza que los factores, constituyéndose en una extensión de la definición aritmática tradicional.

Problemas de tipo multiplicativo Vergnaud (1990) estudia el campo conceptual de las estructuras multiplicativas y en él distingue tres tipos de problemas: los de isomorfismos de medida, los de producto de medidas y los problemas con un espacio único de medidas. Esta categorización brinda un marco para tratar las situaciones multiplicativas en la enseñanza. Un problema del primer tipo es “Una bolsa tiene 7 dulces, ¿cuántos dulces hay en 6 bolsas?” Una resolución “escalar” al problema es “Si hay 7 dulces por bolsa, en 6 bolsas habrá 42 dulces (7 dulces/ bolsa x 6 bolsas)”. Una resolución “funcional” es “Si hay 6 bolsas y en cada bolsa hay 7 dulces, entonces habrá 42 dulces (6 bolsas x 7 dulces/bolsa). En la resolución funcional se pasó de una medida (bolsas) a otra (unidades de dulces). Un problema del segundo tipo es “Tenemos 3 poleras distintas y 4 pantalones distintos, ¿cuántas combinaciones de polera y pantalón son posibles?” Esta situación incluye dos campos de medidas que se componen, sin constituir una función proporcional que asocie los dos campos. Un problema del tercer tipo es: “Andrés tiene el triple de lápices que José, ¿cuántos lápices tiene Andrés si José tiene 4?” Este tipo de problemas se puede homologar al primero. El modelo multiplicativo Según Freudenthal (1983), la multiplicación sirve para hallar un número llamado producto que sea respecto del multiplicando lo que el multiplicador es respecto de la unidad, distinguiendo así claramente las situaciones multiplicativas de las aditivas. El modelo aditivo es agregativo, incluyendo la repetición donde un número va al lado del otro como en las sumas sucesivas. Tareas como agregar y trasladar se vinculan con la adición y la sustracción. En el modelo aditivo todos son de una misma especie y no constituyen una combinación. El modelo multiplicativo es de interacción, un número en función de otro, “esto según esto otro”. La multiplicación modela situaciones de proporcionalidad, áreas y combinatoria, entre otras. Permite representar situaciones concretas y más abstractas como representaciones gráficas, arreglos bidimensionales de filas y La enseñanza de la multiplicación : el estudio de clases y las demandas curriculares Masami Isoda, Raimundo Olfos. Valparaíso : Ediciones Universitarias de Valparaíso, 2009 ISBN : 9789561704343 46 Masami Isoda y Raimundo Olfos columnas, diagramas de árbol, círculos concéntricos y diagonales paralelas. La comprensión de la frase “vendrán mis 3 tíos y mis 2 hijos” se ubica en el ámbito aditivo. La comprensión de la frase “vendrán dos hijos de cada uno de mis 3 tíos” se ubica en el ámbito multiplicativo, pues se refiere a algo de algo. La operación que determina el total de elementos dispuestos en grupos de igual cantidad es de carácter multiplicativa (Harel, G. y Confrey, J., 1994).