LAS FÓRMULAS DE LA TORSIÓN. DEDUCCIÓN

FÓRMULAS DE LA TORSIÓN

Consideremos un árbol sometido a pares de torsión T en los extremos, como se muestra en la figura 1. Analizando las deformaciones en el árbol se tiene que: Una línea generatriz AB, inicialmente recta se transforma debido a la torsión en una curva denominada hélice AC. La sección del extremo B gira un ángulo θ con respecto al extremo A. Se puede tener una imagen intuitiva de cómo se forma la curva hélice AC, considerando el árbol dividido en una gran cantidad de rebanadas muy delgadas unidas elásticamente, como las marcadas en la figura 1, con los números 1,2,3. Por ejemplo la rebanada 2 gira respecto a la rebanada 1, cierta cantidad angular, hasta que elásticamente se equilibra el efecto del par y la rebanada 3 de manera simultánea gira con respecto a 2, la misma cantidad angular por unidad de longitud, y así mismo lo hacen las rebanadas sucesivas,  resulta de la acumulación de estas rotaciones parciales la rotación total θ de B respecto a A. Si antes de la torsión, se hacen puntos como marcas de referencia a cada rebanada a lo largo de la línea recta inicial AB, luego de que cada rebanada gire una con respecto a la otra de la forma antes descrita, los puntos marcados dan forma a la línea hélice AC. Se puede comprobar de manera empírica que el ángulo θ es directamente proporcional a la magnitud del par de torsión y a la longitud del árbol.  

                           Figura 1.  Deformación y distribución de esfuerzos en un árbol de sección circular. En la figura 1 se observa una fibra cualquiera ubicada a una distancia ρ del eje del árbol. La distancia radial gira el ángulo θ y se mantiene radial, se produce una deformación tangencial δs en la fibra considerada, igual al arco de círculo DE, resultando:  δs = DE =  ρ·θ. La deformación angular por cortante que resulta de la deformación tangencial es igual a: γ = δs / L  =  ρ·θ / L Aplicando la ley de Hooke para el esfuerzo cortante:  τ = G·γ  = ( G·θ / L ) · ρ La cantidad entre paréntesis es una constante. La ecuación del esfuerzo cortante indica que el esfuerzo varía linealmente  con la distancia ρ con respecto al eje del árbol, tal como se ve en la figura 1, siendo el esfuerzo cortante igual a cero en el centro del árbol y máximo en la superficie externa del árbol. En la figura 2 se tiene un diagrama de cuerpo libre de una porción del árbol que resulta de aplicar el método de la sección, por medio de un plano de corte MN. Una fuerza cortante elemental dp = τ ·dA, se supone perpendicular al radio ρ para obtener así su mayor eficiencia en la resistencia al par torsionante T, Por equilibrio el par resultante interno tiene que ser igual al par torsionate externo T.