Verständnisfragen Kurvendiskussion

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13. Klasse Mathematik Flashcards on Verständnisfragen Kurvendiskussion, created by Nathalie Teuber on 06/03/2018.
Nathalie Teuber
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Question Answer
Wie lässt sich die erste Ableitung geometrisch interpretieren? Die erste Ableitung an einer Stelle x_0 liefert die Steigung der Ausgangsfunktion f(x) an der Stelle x_0 bzw. im Punkt (x_0/f(x_0)). Visualisiert werden kann die Steigung, indem man die Tangente einzeichnet. Eine positive Steigung heißt, dass der Graph steigt, eine negative, dass der Graph fällt.
Erläutere, wie du die Steigung von f(x)=x²+3x im Punkt (1/4) ermittelst. Ich berechne f'(x)=2x+3 und setze den x-Wert ein: f'(1)=2*1+3=5 Also hat f(x) im Punkt (1/4) die Steigung 5. Das ist schon ziemlich steil. Achtung: Den y-Wert 4 habe ich gar nicht gebraucht.
Erläutere, wie du nachweist, dass der Graph von f(x) an der Stelle x_0 fällt. Ich berechne die Ableitung f'(x) und rechne nach, dass f'(x_0) negativ ist.
In welchem der Punkte ist der Graph von f(x)=x²+0,5x steiler, in P(1/1,5) oder in Q(-2/3)? f'(x)=2x+0,5 Steigung in P(1/1,5): f'(1)=2,5 Steigung in Q(-2/3): f'(-2)=-3,5 In P steigt der Graph, in Q fällt er, aber steiler ist der Graph in Q, weil |-3,5|=3,5 > 2,5 ist.
Was weißt du über die Steigung in Hoch- und Tiefpunkten? In Hoch- und Tiefpunkten, also in Extrempunkten, ist die Steigung = 0, also f'(x)=0.
Gibt es neben Hoch- und Tiefpunkten noch andere Punkte, in denen die Steigung Null ist? Ja, Sattelpunkte.
Erläuter das Verfahren zu Extrempunktberechnung. 1: Ich berechne die ersten beiden Ableitungen f'(x) und f''(x) 2: Ich berechne die Nullstellen der ersten Ableitung: f'(x)=0 Das liefert mir die kritischen Stellen. An kritischen Stellen liegt entweder ein Hochpunkt, ein Tiefpunkt oder ein Sattelpunkt. 3: Ich teste die kritische Stellen, indem ich sie in die zweite Ableitung einsetze: Ist die zweite Ableitung an einer kritischen Stelle - negativ, so ist dort ein HP - positiv, so ist dort ein TP - gleich 0, so kann ich noch keine Aussage treffen. 4: Die fehlende y-Koordinate erhalte ich durch Einsetzen des x-Wertes in die Ausgangsfunkion f(x).
Welche Bedeutung hat die zweite Ableitung? Mit der zweiten Ableitung kann die Krümmung der Ausgangsfunktion berechnet werden. In linksgekrümmten/konvexen Bereichen ist die zweite Ableitung positiv oder Null. In rechtsgekrümmten/konkaven Bereichen ist die zweite Ableitung negativ oder Null.
Welche Bedeutung haben Wendepunkte? 1: In Wendepunkten ändert sich die Krümmung. Übergang von Links- in Rechtkrümmung oder umgekehrt. 2: In Wendepunkten ist die Steigung lokal maximal (falls der Graph dort steigt) oder lokal minimal (falls der Graph dort fällt). In jedem Fall ist der Graph dort lokal am steilsten.
Erläutere das Verfahren zur Bestimmung von Wendepunkten. 1: Ich berechne die ersten drei Ableitungen f'(x), f''(x) und f'''(x). 2: Ich berechne die Nullstellen der zweiten Ableitung: f''(x)=0 Das liefert mir die kritischen Stellen für Wendepunkte. An den so gefundenen Stellen kann ein Wendepunkt liegen, muss aber nicht. 3: Ich teste die gefundenen Stellen, indem ich sie in die dritte Ableitung einsetze: Ist die dritte Ableitung dort - ungleich 0, so ist dort sicher ein WP - gleich 0, so kann ich noch keine Aussage treffen. 4: Die fehlende y-Koordinate des WP erhalte ich durch Einsetzen des x-Wertes in die Ausgangsfunkion f(x).
Wie berechne ich die Steigung in einem Wendepunkt WP(x_0/y_0)? Ich setze den x-Wert in die erste Ableitung ein, so wie ich es bei jedem anderen Punkt auch tun würde.
Erläutere das Verfahren zur Aufstellung der Tangentengleichung der Tangente an den Graphen von f(x) im Punkt (x_0/y_0). 1: Ansatz: y = mx + b 2: m = f'(x_0) -> Ich habe m und setze es in meinem Ansatz ein. 3: y_0 = m * x_0 + b nach b auflösen. -> Ich habe b. 4: Noch mal sauber hinschreiben: Tangente an f(x) in (x_0/y_0): y = mx + b (berechnete Werte einsetzen)
Wie berechen ich den Schnittwinkel einer Funktion f(x) mit der x-Achse? 1: Nullstelle von f(x) berechnen: x_0 2: Nullstelle in erste Ableitung einsetzen: m = f'(x_0) 3: Winkel ausrechen: alpha = tan⁻¹(m) 4: Ist alpha > 90°, nimm den Ergänzungswinkel beta = 180° - alpha.
Welchen Ansatz machst du für f(x), um folgenden Graphen zu modellieren: Der Graph ist eine Parabel. Ich mache den Ansatz: f(x)=ax²+bx+c Besser noch wähle ich die Scheitelpunktform, wenn ich den Scheitelpunkt und die Streckung/Stauchung ablesen kann: f(x)=a(x-x_S)²+y_S Oder die Nullstellenform, wenn ich die Nullstellen und die Streckung/Stauchung ablesen kann: f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)
Welchen Ansatz machst du für f(x), um folgenden Graphen zu modellieren: Die Funktion hat zwei Extrempunkte. Daher muss der Grad von f(x) mindestens 3 sein. Daher mache ich den Ansatz: f(x)= ax³+bx²+cx+d
Welchen Ansatz machst du für f(x), um folgenden Graphen zu modellieren: Die Funktion hat drei Extrempunkte. Daher muss der Grad von f(x) mindestens 4 sein. Daher mache ich den Ansatz: f(x)= ax⁴+bx³+cx²+dx+e
Welchen Ansatz machst du für f(x), um folgenden Graphen zu modellieren: Die Funktion hat drei Extrempunkte. Daher muss der Grad von f(x) mindestens 4 sein. Außerdem ist der Graph achsensymmetrisch. Daher mache ich den Ansatz: f(x)= ax⁴+bx²+c (nur gerade Exponenten)
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