Für das Themengebiet Analysis solltest du für das Abi die folgenden Grundbegriffe & -themen kennen und lernen:
Differenzialrechnung (z.B. Differenzenquotient und Differentialquotient.)
Ableitung sollte für dich kein Fremdwort sein
Kenne die wichtigsten Ableitungsregeln
Potenz-, Summen-, Faktor-, Ketten- sowie die Quotientenregeln
Konvergenz und Grenzwerte
von Funktionen
Fragen wie „Wann ist eine Funktion differenzierbar?” und „Wann
ist eine Funktion stetig und wie untersucht man Funktionen hinsichtlich
ihrer Symmetrie und Monotonie?” solltest du beantworten
können.
Also: Überlege dir, wie du im Abitur bei der Analyse von
Funktionen vorgehen kannst.
Grundlagen zur Ableitung von Funktionen - Konstante Steigung
Zunächst ist zu klären, was es mit der Steigung auf sich hat. Zu diesem Zweck schau dir zunächst eine lineare Funktion an. Schau dir die linke Grafik an: Eine
Funktion. Ziel ist es, deren Steigung zu bestimmen.
Steigung? Das kennst du z.B. von einer Straße,
die den Berg hoch geht. Du hast also eine Steigung zu bewältigen. So
etwas kann man auch mathematisch beschreiben. Also schau die Grafik einmal an..Wie du siehst, ist die Steigung überall gleich. Diese möchten wir
nun ausrechnen. Dabei wählen wir zwei Punkte und bilden dann ein
Steigungsdreieck. Hier eine Schritt-für-Schritt Anleitung:
Wähle einen ersten Punkt auf der Gerade aus. Punkt 1: x = 6 und y = 3
Wähle einen zweiten Punkt auf der Gerade aus: Punkt 2: x = 2 und y = 1
Bilde Δy durch Subtraktion der y-Angaben: 3 - 1 = 2
Bilde Δx durch Subtraktion der x-Angaben: 6 - 2 = 4
Steigung = Δy : Δx -> Steigung = 2 : 4 = 0,5
Die Steigung beträgt somit 0,5
Die Steigung gerade war überall gleich. Das macht es recht einfach, diese zu
berechnen. Aufwendiger wird es bei einer "krummen" Funktion. Genau darum dreht sich die
Differentialrechnung: Du willst die Steigung in einem gewissen Punkt rausfinden. Nimm dazu den Punkt x = 2 und y = 1, den wir durch ein kleines
Kreuzchen in der Grafik eingezeichnet haben. Um ein Steigungsdreieck zu
erhalten wird ein zweiter Punkt eingetragen ( so wie wir das auch bei
der linearen Funktion gemacht haben ), in diesem Fall bei x = 7 und y =
5,5. Verbinde diese beiden Punkte. Du erhälst eine Sekante, sprich
die Funktion wird an zwei Stellen geschnitten ( dort wo die Berührpunkte
mit der eingezeichneten Gerade liegen ). Mit dieser kannst du
eigentlich jetzt die Steigung berechnen, eigentlich...Denn leider haben wir einen kleinen Fehler gemacht. Schaut man sich die
Gerade einmal an, sieht man, dass diese nicht ganz der Steigung im Punkt
x = 2 und y=1 entspricht. Der Grund: Die Funktion, die wir haben, ist
gekrümmt und ändert ständig die Steigung. Nehmen wir uns also einen
zweiten Punkt in etwas größerer Entfernung zum ersten Punkt, entsteht
eine "ungenaue" Steigung. Deshalb müssen wir den zweiten Punkt ganz nah
am ersten Punkt wählen. Schieben wir diesen zweiten Punkt ganz nah an
den ersten ran, haben wir irgendwann den Punkt erreicht, wo der eine
Punkt fast auf dem zweiten Punkt liegt. Wir haben dann nur noch einen
Schnittpunkt mit der Geraden und damit eine Tangente mit exakter
Steigung vorliegen.
Eine Funktion besteht aus drei Teilen:
Funktionsgleichung
Definitionsmenge
Wertemenge
Beispiel einer Funktion: y=2x, D={1,2,3,4}, W={2,4,6,8}
ErklärungBei y=2x handelt es sich um die Funktionsgleichung der Funktion. Sie gibt an, was man mit einem x-Wert machen muss, um den dazugehörigen y-Wert zu erhalten: In diesem Fall muss jeder x-Wert mit 2 multipliziert werden.
Bei D={1,2,3,4} handelt sich um die Definitionsmenge der Funktion. Sie gibt an, welche x-Werte in die Funktion eingesetzt werden dürfen: In diesem Fall darf man die Zahlen 1, 2, 3 und 4 für x einsetzen.
Bei W={2,4,6,8} handelt es sich um die Wertemenge der Funktion. Sie gibt an, welche y-Werte die Funktion annehmen kann.
Caption: : Ein Videotutorial, dass dir noch einmal genau erläutert, was es mit einer Funktion auf sich hat
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Die Differentialrechnung
Die Differentialrechnung untersucht das Steigungsverhalten. Schülern
wird manchmal die Herleitung erspart oder nur in kurzer Zeit gezeigt.
Was du dir merken musst: Durch das Ableiten einer Funktion erhälst du deren Steigungsverhalten. Um dies möglichst einfach zu machen,
brauchst du dich nicht mit Grenzwertübergängen zu quälen, sondern musst
"nur" einige Ableitungsregeln kennenlernen. Mit genau diesen befassen
wir uns in den folgenden Folien. Dabei gilt: f(x) = ... bzw. y = ... stellt die "Ausgangsfunktion" dar. Leitet man ab, erhält man f'(x) = ... bzw. y' = .... Leitet man noch einmal ab, erhält man f''(x) = ... bzw. y'' = .
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Ableitung: Faktor- & Potenzregel
Ziel ist es hier, Funktionen wie zum Beispiel f(x) = y = x4 oder f(x) = y = 3x2 oder auch f(x) = y = 5x abzuleiten. Allgemein gilt: y = xn mit der Ableitung y' = n · xn-1.
Ein Faktor bleibt erhalten. Hier die allgemeine Anwendung der
Faktorregel und Potenzregel, einige Beispiele folgen anschließend:
Schreib dir die Aufgabenstellung in der Form y = ... auf
Schreib darunter y' =
Schreib den Exponent von x hinter y' =
Schreib dann das x hin
Der Exponent für die Ableitung wird um eins reduziert.
Der Faktor bleibt erhalten
Wie das linke Beispiel zeigt: Die Ableitung einer Zahl (ohne x) ist
stets Null.
Die Summenregel besagt: Bei einer endlichen Summe von Funktionen darf
gliedweise differenziert werden. Auch dies lässt sich am besten anhand
vom Beispiel rechts zeigen.
Diese kommt zum Einsatz, wenn ihr einen Bruch ableiten wollt. Schau dir die Schreibweisen genau an, bevor dann auf der nächsten Folien zwei Beispiele dir alles näherbringen.
Caption: : Verschiedene Regeln nochmal auf einen Blick
Caption: : Lernvideo
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Wendepunkt berechnen
Wendepunkt: Ein Punkt auf einem Funktionsgraphen, an welchem der Graph
sein Krümmungsverhalten ändert. Ein Graph wechselt hier entweder von
einer Rechts- in eine Linkskurve oder umgekehrt. Wie berechne ich einen Wendepunkt? Dazu bedient man sich wie auch
beim Hochpunkt bzw. Tiefpunkt der Differentialrechnung. Die
hinreichende Bedingung für einen Wendepunkt lautet:
f''(x0) = 0
f'''(x0 ) ≠ 0
Führe die folgenden Schritte durch:
Wir leiten die Funktion f(x) dreimal ab.
Wir setzen die zweite Ableitung Null und berechnen den X-Wert, sofern möglich
Sofern möglich, setzen wir diesen X-Wert in die dritte Ableitung ein
Ist dieses Ergebnis ungleich Null, liegt ein Wendepunkt vor
Der X-Wert wird in f(x) eingesetzt, um den zugehörigen Y-Wert zu bestimmen
Sattelpunkt: Ein Wendepunkt mit waagrechter Tangente Wie berechne ich einen Sattelpunkt? Dazu bedient man sich wie auch
beim Hochpunkt bzw. Tiefpunkt der Differentialrechnung. Die hinreichende
Bedingung für einen Sattelpunkt lautet:
f'(x0) = 0
f''(x0) = 0
f'''(x0 ) ≠ 0
Um eine Funktion auf Sattelpunkte hin zu untersuchen, führe die folgenden Schritte durch:
Leite die Funktion f(x) dreimal ab.
Setze die erste Ableitung Null
Setze die zweite Ableitung Null
Sofern möglich, setze diesen X-Wert in die dritte Ableitung ein
f'''(x) muss dann ungleich Null sein
Der X-Wert wird in f(x) eingesetzt, um den zugehörigen Y-Wert zu bestimmen
