Bilinearform

Standardskalarprodukt
1. Summe der Kompnentenweise Multiplikation
2. Nicht ausgeartet
3. Symmetrisch
4. Determinante ist alternierenden, wegen VZW bei Spaltentausch
Grundlegendes
1. Es muss gelten
  1. Selbiges auch für w
2. Weist zwei Vektoren einen Skalarwert zu
3. Positiv definit
  1. Bei V ungleich Nullvektor ist immer B(v,v) > 0
4. Formel
Matrix S
1. Zusammensetzung
  1. Bilinearform zwischen der i-ten Spalte und der j. Zeiler zweier Basen C und C'
2. S Tilde
orthogonal
1. Orthogonalbasis
  1. Basis besteht aus zueinander orthogonalen Vektoren
  2. Jede symmetrische Bilinearform ist eine Orthogonalbasis
2. B(v,w) = 0
3. Orthogonalkomplement
  1. Alle Vektoren aus V die zu M orthogonal sind
nicht ausgeartet, wenn
1. positiv definit
2. B(v,w) = 0 für alle v/w ungleich deren jeweiliger Nullvektor muss gelten w/v = 0
symmetrisch
1. B(v,w) = B(w,v)
alternierend
1. B(v,w) = -B(w,v)
Satz von Sylvester
1. hängt nur von Biliniearform ab
2. Wenn B nicht ausgeartet und symmetrisch
3. Es existiert eine Basis C sodass gilt

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