Funciones cuadráticas en
contextos socioculturales
Dados un punto F (foco) y una recta r (directriz), se denomina parábola al conjunto de puntos del
plano que equidistan del foco y de la directriz. Simbólicamente:
Ecuación de una parábola a partir
del foco y la directriz
Dado el foco y la directriz de una parábola, podemos encontrar la
ecuación de la parábola. Consideremos, por ejemplo, la parábola cuyo
foco está en (-2,5) y la directriz es y= 3 empezamos por considerar un
punto general(x,y)en la parabola.
El foco cae en el eje de simetría de la parábola .
Encontrando el foco de una parábola dada su ecuación Si Usted tiene la ecuación de una parábola en
la forma vértice y = a ( x - h ) 2 + k , entonces el vértice está en ( h , k ) y el foco está en ( h , k + 1/(4 a ) ).
Estamos trabajando con una parábola con un eje de simetría vertical, así la
coordenada en x del foco es la misma que la coordenada x del vértice.
Ejemplo 1: Encuentra el foco de la parábola y = (1/8) x 2 . Aquí h = 0
y k = 0, así el vértice está en el origen. Las coordenadas del foco son
( h , k + 1/(4 a )) o (0, 0 + 1/(4 a )). Ya que a = 1/8, tenemos 1/(4a ) =
1/(1/2) = 2 El foco esta en (0, 2).
Ejemplo 2: Encuentra el foco de la parábola y = -( x- 3) 2 - 2 . Aquí h = 3 y k = -2, así el vértice está en (3,
-2). Las coordenadas del foco son ( h , k + 1/(4 a )) o (3, -2 + 1/(4 a )). Aquí a = -1, así -2 + 1/(4 a ) = -2 - 1/4
= -2.25 El foco esta en (3, -2.25).
Mediante la formula de la distancia, determinamos entre (x,y) y
el foco(-2,5) y la directriz es y=3. empezamos por considerar un
punto general (x,y) en la parabola.
P = { P ( x , y ) | d ( P , r ) = d ( P , F ) }
El punto de la parábola que
pertenece al eje focal se llama
vértice
Para el esquema que realizamos, las coordenadas del vértice
son V ( 0 , 0 ) , las del foco F ( c , 0 ) y la recta directriz está dada
por r : x = – c . Las coordenadas de un punto genérico Q que
pertenece a la directriz son ( – c , y ) .
El vértice de una parábola es el punto donde la parábola cruza su eje de simetría. Si el coeficiente del
término x 2 es positivo, el vértice será el punto más bajo en la gráfica, el punto en la parte baja de la
forma “U”. Si el coeficiente del término x 2 es negativo, el vértice será el punto más alto en la gráfica, el
punto en la parte alta de la forma “U”.
La formulacion estandar de una parabola es y = hacha 2 + bx + c . Pero la ecuación para una parábola
también puede ser escrita en la "forma vértice": y = un ( x - h ) 2 + k En esta ecuación, el vértice de la
parábola es el punto ( h , k ).
Puede ver como se relaciona esto con la formula estandar al multiplicar: y = un ( x – h )( x – h ) + k y = ax
2 – 2 ahx + ah 2 + k El coeficiente de x aquí es – 2 ah . Esto significa que en la forma estándar, y = ax 2 +
bx + c , la expresión da la coordenada en x del vértice .
Ejemplo: Encuentro el vértice de la parábola. y = 3 x 2 + 12 x – 12 Aquí, a = 3 y b = 12. Así, la coordenada
en x del vértice es: Sustituyendo en la fórmula original para obtener la coordenada en y , obtenemos: y
= 3(–2) 2 + 12(–2) – 12 = –24 Así, el vértice de la parábola está en ( -2, -24 ) .
La gráfica de una función cuadrática es una
parábola. Pero el concepto geométrico de
parábola es más amplio
El siguiente gráfico muestra una «parábola acostada»:
Existen también las parábolas rotadas. Por ejemplo si nosotros graficáramos en algún
programa de computadora el conjunto de puntos que satisfacen la ecuación x 2 + 2 x y +
y 2 + 2 x – 2 y = 0 , obtendríamos la siguiente gráfica:
La directriz es perpendicular al eje de simetría de una parábola y no toca la parábola. Si el eje de
simetría de una parábola es vertical, la directriz es una recta horizontal .
Relación entre el foco, vértice y directriz: El vértice de la parábola esta a una distancia igual entre el
foco y la directriz. Si F es el foco de la parábola, V es el vértice y D es el punto de intersección de la
directriz y el eje de simetría, entonces V es el punto medio del segmento de recta .
Ecuación canónica de una parábola Para determinar la ecuación canónica o reducida de una parábola
situemos un sistema de referencia de manera que el eje de abscisas coincida con el eje de la parábola y
el origen O, con el punto medio del segmento DF, donde D es la proyección ortogonal del foco F sobre la
directriz. Pongamos PF = p, entonces el punto F en este sistema de referencia tiene por coordenadas F
(p/2, 0) y la ecuación de la directriz es r x + p/2 = 0. Sea P (x, y) un punto cualquiera del plano, por
definición de parábola la igualdad
La ecuación canónica de una parábola es una manera de escribir y describir los principales aspectos
de una parábola. Sabiendo interpretar una ecuación canónica de manera correcta se puede llegar a
conocer algunas de las características más importantes en una parábola, por ejemplo, simplemente
con ver la estructura de la ecuación que se plantea se puede saber hacia dónde abre la parábola o
donde está posicionado el vértice, y luego para saber las coordenadas del foco o el valor del
parámetro (p) simplemente basta con hacer unas cuantas operaciones sencillas para tener todos los
datos que permiten graficar una parábola.
Estructura de la ecuación canonica Todas las ecuaciones que están en la imagen anterior son
ecuaciones canónicas de parábolas, pero cada una tiene algunas cosas que varían, como el orden de
las variables o algunos signos, y estos pequeños cambios son los que provocan que haya parábolas que
apunten hacia la derecha, izquierda, arriba y abajo, como se puede observar en la imagen. A
continuación se explicará como reconocer de que tipo de parábola es una ecuación.
Saber la dirección de una parábola Cuando una ecuación tiene elevado al cuadrado el paréntesis que
contiene a la variable “x”, entonces es una parábola vertical, es decir, que la parábola abre hacia arriba
o hacia abajo (es decir que esta es una función), pero si por el contrario el paréntesis que está al
cuadrado es el que contiene a la variable “y”, entonces la parábola es horizontal, es decir, que la
parábola abre hacia la derecha o hacia la izquierda.
Apertura de una parábola Ahora bien, para saber con exactitud hacia donde es la apertura de la
parábola hay que ver el signo de “4p”, si el signo de “4p” es positivo entonces la parábola abrirá hacia
los números positivos, es decir, que si es una parábola vertical abrirá hacia arriba y si es una parábola
horizontal abrirá hacia la derecha, y si “4p” es negativo (-4p) entonces la parábola abrirá hacia los
números negativos, es decir, que si es una parábola horizontal abrirá hacia la izquierda y si es una
parábola vertical esta abrirá hacia arriba.
Por ejemplo: la parábola que se da por la ecuación
(x - 3)2 = -4(y+4) es una parábola que se abre hacia
abajo, (y+4) 2 = 4(x - 3) es una parábola que abre
hacia la derecha. De esta manera ya se puede saber
la dirección de la parábola simplemente con mirar la
ecuación canónica.
Vertice en la ecuación canonica Como se puede observar en las ecuaciones también están las variables
“h” y “k”, como ya se sabe estas variables son las coordenadas (x,y) del vértice de la parábola, el vértice
es el punto máximo o mínimo de la parábola (dependiendo de hacia dónde se abre) y este siempre está
en el centro de la parábola y es quizás el punto más importante de una parábola y con la ecuación
canónica se puede conocer la coordenada del vértice, pero ojo, a los valores que tienen “h” y “k” en la
ecuación hay que cambiarles el signo, si es negativo hay que pasarlo a positivo y viceversa, esto porque
en la ecuación canónica el signo anterior a “h” y “k” es negativo, entonces esto hace que tengan el signo
contrario. Un truco para recordar cual es “h” y cuál es ” k” es que “h” siempre estará en el paréntesis de
“x” y “k” siempre estará en el paréntesis de “y”.
Parámetro en la ecuación canónica Este es la distancia que hay entre el foco y el vértice y entre el
vértice y la directriz, y se representa por la letra “p”, y este si está explícitamente en la ecuación
canónica, lo único que está representado como “4p” lo que quiere decir que el número que este allí
será igual a 4 veces el valor de “p” por lo tanto, para encontrar el valor genuino de “p” se debe dividir
ese número entre 4. Por ejemplo: en la ecuacion (x -3) 2 = 12(y+3): en la posición de “4p” está el numero
12, así que para encontrar “p” se divide 12/4 y el resultado de esto es 3, por lo que “p” vale 3. Ahora
bien, el valor de la línea recta es 4 veces p, por lo que en este caso el valor de la línea recta sería 12.
Traslación verticalPara hacer una transformación en vertical sumamos o restamos una constante, es
decir, {y = x^2 + k} Si {k > 0}, {y = x^2} se desplaza hacia arriba {k} unidades Si {k < 0}, {y = x^2} se
desplaza hacia abajo {k} unidades El vértice de la parábola es: {(0, k)} El eje de simetría {x = 0} Tomamos
dos ejemplos donde la constante {k} es positiva y negativa.
raslación horizontal Para hacer una transformación en horizontal sumamos o restamos una constante
pero esta vez dentro del término cuadrático, es decir, {y = (x + h)^2} Si {h > 0}, {y = x^2} se desplaza
hacia la izquierda {h} unidades Si {h < 0}, {y = x^2} se desplaza hacia la derecha {h} unidades El vértice
de la parábola es: {(-h, 0)} El eje de simetría es {x = -h} Tomamos dos ejemplos donde la constante {h} es
positiva y negativa.