Actitudes ante el Riesgo

Preliminares

Una vez definida la función de utilidad esperada, es posible caracterizar la actitud de los agentes ante el riesgo. Recordemos que dada una lotería simple Ln, la utilidad esperada: U(Ln) = E(u(Ln)) = (Suma de beneficios n)*(u(xn)) [si es discreta]; U(Ln) = E(u(Ln)) = Integral [u(x) dF(x)](infinito superior, infinito inferior) [si es continua]. Se asume de ahora en adelante que: Los resultados son pagos monetarios y que las funciones de utilidad de Bernoulli son crecientes y continuas. Entonces sea Lm el subconjunto de loterías simples cuyos resultados son pagos monetarios. Por lo que el valor esperado de Ln (pago monetario) es: E(Ln) = (Suma de beneficios n)*(xn) [si es discreta]; E(Ln) = Integral [x dF(x)](infinito superior, infinito inferior)[si es continua].

Aversión al Riesgo

Un agente muestra aversión al riesgo si para cualquier lotería de pago monetario Ln: E(u(Ln)) < u(E(Ln)) Por lo lotería discreta sería: (Suma de beneficios n)*(u(xn)) < u( (Suma de beneficios n)*(xn)) Y lotería continua sería:  Integral [u(x)*f(x) dx](infinito superior, infinito inferior) < u(Integral [x df(x)](infinito superior, infinito inferior)). En palabras, un agente es averso al riesgo si la utilidad esperada de la lotería (o también "valor esperado de la utilidad) es menor que la utilidad del valor esperado de la lotería. Dada una lotería de pago monetario Ln, toda persona con aversión al riesgo preferirá siempre una lotería segura (que ofrezca un pago monetario igual al valor esperado de la lotería), antes que la propia lotería Ln de pago monetario

Amor y Neutralidad al Riesgo

Amor al riesgo: Un agente muestra amor al riesgo si para cualquier lotería de pago monetario Ln: E(u(Ln)) > u(E(Ln)) Amor al riesgo: Un agente muestra neutralidad al riesgo si para cualquier lotería de pago monetario Ln: E(u(Ln)) = u(E(Ln)) A pesar de todo, es posible que algunas funciones de utilidad no encajen en ninguna de las tres definiciones anteriores. Por ejemplo, pueden satisfacer aversión al riesgo para algunas loterías, y amor al riesgo para otras.

Propiedades de Aversión al Riesgo

Sea h(x) una función cóncava. Entonces la función cumple la siguiente desigualdad de Jensen: E[h(x)] ≤ h[E(x)], si la función es estrictamente cóncava, entonces E[h(x)] < h[E(x)]. Una comparación de la definición de aversión al riesgo con la propiedad de la desigualdad de Jensen lleva a concluir que, si un agente es averso al riesgo, entonces su función de utilidad de Bernoulli debe ser estrictamente cóncava Equivalente cierto: el equivalente cierto de la lotería Ln es el pago monetario C(Ln, u) tal que el agente es indiferente entre la lotería Ln y dicho pago, esto es: u[C(Ln, u)] = E[u(Ln)]. El equivalente cierto es el pago monetario de una lotería segura que el agente considera tan bueno como la utilidad esperada por enfrentar la lotería riesgosa Ln. Con el equivalente cierto, el agente está indiferente entre jugar la lotería Ln y recibir el pago C(Ln, u): con un monto menor a C(.), el agente prefiere jugar la lotería Ln y con un monto mayor, el agente prefiere el pago seguro. Premio por riesgo: es un pago monetario P(L, u) tal que: u[E(Ln) - P(Ln, u)] = E[u(Ln)]. El premio por riesgo es el máximo que un agente averso al riesgo estaría dispuesto a pagar para no enfrentar la lotería riesgosa Ln. Si el agente debe pagar más para no enfrentar la lotería Ln, entonces prefiere jugar la lotería.  Comparando las definiciones del equivalente cierto y del premio por riesgo, se observa que: P(Ln, u) equivalente a E(Ln) - C(Ln, u). Para todo agente con aversión al riesgo se cumple que: C(Ln, u) < E(Ln) y P(Ln, u) > 0. La proposición en la página siguiente resume las propiedades de las temas anteriores. Sea un agente que maximiza su utilidad esperada con una función de utilidad de Bernoulli u: X-----> R. Entonces las siguientes propiedades son equivalentes: El agente es averso al riesgo, la función u es estrictamente cóncava, C(Ln, u) < E (Ln) para toda lotería Ln; y P(Ln, u) > 0

Propiedades de Amor al Riesgo

Sea h(x) una función convexa. Entonces la función cumple la siguiente desigualdad de Jensen: E[h(x)] ≥ h[E(x)], si la función es estrictamente convexa, entonces E[h(x)] > h[E(x)]. Una comparación de la definición de amor al riesgo con la propiedad de la desigualdad de Jensen lleva a concluir que, si un agente es amante al riesgo, entonces su función de utilidad de Bernoulli debe ser estrictamente convexa. Además de la convexidad estricta, la función de utilidad de Bernoulli de un agente amante al riesgo también cumple que C(Ln, u) > E(Ln), al igual que en el caso de aversión, con un monto menor a C(Ln, u), el agente amante al riesgo prefiere jugar la lotería Ln, pero con un monto mayor, el agente prefiere el pago seguro. Asimismo: P(Ln, u) < 0 , en este caso P(Ln, u) representa (en valor absoluto) lo mínimo que un agente amante al riesgo esta dispuesto a recibir para no enfrentar la lotería riesgosa Ln. Si al agente le ofrecen un monto menor, entonces prefiere jugar la lotería. La siguiente proposición aplica las definiciones de las propiedades de aversión al riesgo para el caso de un agente amante al riesgo: Sea un agente que maximiza su utilidad esperada con una función de utilidad de Bernoulli u: X-----> R. Entonces las siguientes propiedades son equivalentes: El agente es amante al riesgo, la función u es estrictamente convexa, C(Ln, u) > E (Ln) para toda lotería Ln; y P(Ln, u) > 0

Propiedades de Neutralidad al Riesgo

La siguiente proposición aplica las definiciones de las propiedades de aversión al riesgo para el caso de un agente neutral al riesgo: Sea un agente que maximiza su utilidad esperada con una función de utilidad de Bernoulli u: X-----> R. Entonces las siguientes propiedades son equivalentes: El agente es neutral al riesgo, la función u es lineal, C(Ln, u) = E (Ln) para toda lotería Ln; y P(Ln, u) = 0