Probabilidades y Loterías II

Preferencias sobre Loterías

De igual manera que en la teoría microeconómica del consumidor, el objetivo ahora sería el definir el conjunto de axiomas que caracterizan las preferencias del consumidor bajo incertidumbre, de manera que dichas preferencias puedan ser representadas  por una funcion de utilidad. Entonces tenemos a nuestro nuevo L como el conjunto finito de loterías (simples y compuestas) que enfrenta el consumidor donde Ls es el subconjunto de loterías simples que esta incluido en L. A continuación se definirán axiomas para estos casos discretos, aunque la extensión al caso continuo es casi inmediato.

Axioma de Racionalidad

1. Sea el axioma de completitud, donde una relación de preferencias (a y b) se define como completa, cuando en el espacio de las opciones a y b (lotería a y lotería b, ambas pertenecientes a L) se tiene al menos uno de los siguientes escenarios: el consumidor prefiere a la lotería a en lugar que la lotería b (donde para el consumidor, la lotería a es primordial frente a la lotería b), el consumidor prefiere a la lotería b en lugar que la lotería a (donde para el consumidor, la lotería b es primordial frente a la lotería a) y el consumidor prefiere ambas loterías (donde para el consumidor, le es indiferente tanto la lotería a como la lotería b).   2. Sea el axioma de transitividad la relación de preferencias se define como transitiva, cuando en un L existe un espacio de opciones mayor a 2 (en este caso a,b y c) donde si el consumidor prefiere (por ejemplo) a la lotería a por encima de la lotería b, y acto siguiente, prefiere a la lotería b por encima de la lotería c; entonces la lotería a será preferida por el consumidor, por encima de la lotería c.   3. Finalmente, en el axioma de racionalidad, la relación de preferencias será racional siempre y cuando se cumplan las propiedades de los axiomas anteriores (completitud y transitividad). Por lo que, no es posible definir una función de utilidad para la relación de preferencias si está no cumple con el axioma de racionalidad.  

Axioma de Reducción de Loterías Compuestas

Sea Q una lotería compuesta y L0 su lotería simple reducida. Una relación de preferencias satisface la propiedad de reducción de loterías compuestas. En otras palabras, la posibilidad de reducir las loterías compuestas a loterías simple reducida (visto en Probabilidades y Loterías I) existe porque el individuo desea saberlo, y esto es manifestado mediante sus preferencias. El axioma de reducción de loterías compuestas tiene dos importantes implicancias: 1.- Las preferencias que muestra el individuo son consecuencialistas, esto es, al consumidor sólo le interesa la distribución de probabilidades sobre resultados finales, sin importar si estas son de loterías compuestas o simples. 2.- Como toda lotería compuesta puede transformarse en una lotería simple, el axioma permite enfocarse en el subconjunto de loterías simples.

Axioma de Monotonicidad

Algunas definiciones previas: Dado X, el conjunto de resultados, de donde existen x+, como el mejor resultado posible; y x-, como el peor resultado posible. Por lo que el individuo tendrá una preferencia primordial por el mejor resultado por encima de cualquier otro; y tendrá preferencia por cualquier otro resultado por encima del peor resultado. En este mismo conjunto de resultados X, se llama lotería del mejor resultado L+ a la que asigna probabilidad 1 al x+, y 0 a cualquier otro resultado. Por consiguiente, se llama lotería del peor resultado L- a la que asigna probabilidad 1 al x-, y 0 a cualquier otro resultado. Por lo tanto, el axioma de monotonicidad (siguiendo el ejemplo anterior) se representa cuando: Existen las loterías simples L+ y L- tal que el individuo prefiere L+ por encima de L-. Se tiene las probabilidades p1 y p2. Se arma la lotería compuesta Q1: p1(L+) + (1-p1)(L-)  y  Q2: p2(L+) + (1-p2)(L-). Para todo p1, p2 pertenecientes a [0,1] el individuo preferirá Q1 si y solo si p1 sea mayor a p2 (Esto se puede generalizar a loterías A y B, donde el individuo preferirá la lotería compuesta que le acerque a su lotería simple preferida tomando en cuenta las probabilidades). A esto se le puede añadir la monotonicidad estricta, donde (como su nombre lo dice) las preferencias del consumidor son estrictas y las preferencias tienen un impulso mayor que las vistas en monotonicidad simple (en terminos matemáticos, la monotonicidad estricta es > o <, mientras que la monotonicidad simple es ≥ o ≤).  

Axioma de Continuidad

Este axioma posee varias definiciones matemáticas:  (1) Una relación de preferencias es continua en el espacio de loterías simples Ls ; dadas tres loterías L1, L2 y L3 de tal manera que las preferencias son: L1 por encima de L2 y L2 por encima de L3. Por lo que al armar una lotería compuesta entre L1 y L3 con probabilidad p1, existirá un escalar alfa que haga que la lotería simple L2 sea indiferente a la Lotería compuesta Q1 (L1, L3). (2) Una relación de preferencias es continua en el espacio de loterías simples Ls; dadas tres loterías L1, L2 y L3 de tal manera que las preferencias son: L1 por encima de L2 y L2 por encima de L3 Por lo que al armar una lotería compuesta Q1 (L1, L3) con probabilidad p1; existirá la posibilidad alfa que la lotería compuesta sea preferida por encima de la lotería 2 y que la lotería 2 sea preferida por encima de la lotería Q1. (3) Considerando que para el consumidor, un pequeño cambio en las probabilidades no afecta su orden de preferencias entre dos loterías, entonces: Una relación de preferencias es continua en el espacio de loterías simples Ls ; dadas tres loterías L1, L2 y L3 de tal manera que las preferencias son: L1 por encima de L2. Por lo que al armar una lotería compuesta entre L1 y L3 con probabilidad p1, existirá un escalar alfa que haga que la lotería compuesta Q1 (L1, L3) sea preferida por encima de la lotería simple L2 (aunque no conozcamos c, el simple hecho de ganar el derecho a jugar L1 hace que la preferencia se decante por la compuesta). En resumen, una relación de preferencias es continua cuando por cambios de probabilidades, existan diversas preferencias entre loterías compuestas y loterías simples (tomando en cuenta las preferencias, por ejemplo, a pesar de que me gusta L1 en vez de L2, decido escoger la lotería simple L2 porque en la lotería compuesta Q1 hay mas chance de que me toque L3, que el mismo L1).

Axioma de Independencia

El axioma de independencia indica que si un consumidor tiene un orden de preferencias entre dos loterías, la combinación de ambas loterías con una tercera lotería (formando loterías compuestas, con las mismas probabilidades), no altera el orden inicial de preferencias. Esto se puede definir matemáticamente como: Una relación de preferencias satisface el axioma de independencia en el espacio de loterías Ls, si dadas las loterías L1, L2 y L3, donde para todo escalar alfa entre 0 y 1, se tiene que el consumidor tendrá preferencias por L1 por encima de L3 si y solo si la lotería compuesta Q1: αL1 + (1-α)L2  tiene la preferencia por encima de la lotería compuesta Q2: αL3 + (1-α)L2.

Ejemplos (I)

AXIOMA DE RACIONALIDAD Se cumple racionalidad cuando por ejemplo en un casino prefieres jugar al Blackjack que al Poker (completitud) y cuando adicionalmente prefieres al Poker que la Tragamoneda por lo que (transitividad) preferirás al Blackjack que la Tragamoneda.

AXIOMA DE REDUCCION DE LOTERIAS COMPUESTAS Se cumple la reducción de loterías compuestas por el simple hecho de querer saber las probabilidades que existen para ganar los premios que más le interesan. (Estadísticas para ganar el pozo mayor de la Lotería de tu país).

AXIOMA DE MONOTICIDAD Se cumple la monoticidad cuando en una lotería compuesta, por ejemplo, recordando la ruleta que te daba la posibilidad de jugar el juego de la moneda o el de las cartas, donde para el individuo M ≥ C, por lo que si existen las ruletas Q1: αM + (1-α)C  y Q2: ßM + (1-ß)C , (donde beta y alfa son escalares entre 0 y 1),  el individuo preferiría la ruleta Q2 si la probabilidad beta supera a la probabilidad alfa, en otras palabras, el individuo se decanta por la ruleta por la que tenga más posibilidades de jugar el juego de la moneda.

Ejemplos (II)

AXIOMA DE CONTINUIDAD Se cumple la continuidad cuando en una lotería compuesta, por ejemplo, recordando la ruleta que te daba la posibilidad de jugar el juego de la moneda o el de las cartas, añadiendo ahora el Blackjack, donde para el individuo B ≥ M ≥ C, por lo que si existen las ruletas Q1: αB + (1-α)C  y Q2: ßM + (1-ß)C , (donde beta y alfa son escalares entre 0 y 1), el individuo preferirá la ruleta Q2 si ß ≥ α, esto sucede porque, a pesar que el individuo prefiera jugar el Blackjack en lugar del juego de la moneda, el individuo se niega a la ruleta Q1 porque la probabilidad de jugar Blackjack es baja a comparación de jugar el juego de la moneda; y en un acto de evitar C (las cartas), juega Q2.

AXIOMA DE INDEPENDENCIA Se cumple la continuidad cuando en una lotería compuesta, por ejemplo, recordando la ruleta que te daba la posibilidad de jugar el juego de la moneda o el de las cartas, añadiendo ahora el Blackjack, donde para el individuo B ≥ M, por lo que si existen las ruletas Q1: αB + (1-α)C  y Q2: ßM + (1-ß)C , (donde beta y alfa son escalares entre 0 y 1), el individuo preferirá siempre la ruleta Q1, la diferencia con la continuidad es que ahora C le es indiferente, por lo que, sin importar las probabilidades, siempre se la "jugará" para ganar B.