guia estadistica 2

UNIVERSIDAD DE EL SALVADOR.FACULTAD MULTIDISCIPLINARIA DE OCCIDENTEDEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA.GUÍA DE PROBLEMAS # 3: ESTADÍSTICA IICONTRASTE PARA UNA POBLACIÓN PROBLEMA 1.A partir de una muestra aleatoria de tamaño 36 extraída de una población Normal condesviación típica 5 se desea realizar el siguiente contraste:⎧ H 0 : μ = 14⎨⎩ H1 : μ = 17Aplicando la regla de decisión,⎧⎪ si x ≤ 15 no se rechaza H 0⎨se rechaza H 0⎪ si x > 15⎩i. Calcule el nivel de significacia, α .ii. Obtenga la probabilidad de cometer un error del tipo II.iii. Calcule la potencia del contraste.PROBLEMA 2.Tenemos una población N ( μ ;1) . Sobre el parámetro μ se establecen dos hipótesis: hipótesisnula que μ = 1 , hipótesis alternativa μ = 2 . La región crítica es el intervalo [ 2.282, ∞ ) . Elcontraste se efectúa mediante una muestra aleatoria de tamaño 1. Determine el nivel designificación y la potencia del contraste.PROBLEMA 3.Para una muestra aleatoria de tamaño 16 de una población N ( μ ;1) con μ ∈ {0,1} se utiliza la{}región crítica RC = x > k para contrastar⎧H0 : μ = 0⎨⎩ H1 : μ = 1Se pide:i. Valor de k para que la prueba tenga tamaño 0.01.ii. Probabilidad de error tipo I.iii. Probabilidad de error tipo II.Página 1 de 7 UNIVERSIDAD DE EL SALVADOR.FACULTAD MULTIDISCIPLINARIA DE OCCIDENTEDEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA.GUÍA DE PROBLEMAS # 3: ESTADÍSTICA IICONTRASTE PARA UNA POBLACIÓN PROBLEMA 4.Por estadísticas que se tienen, se ha podido establecer que más del 40% de los jóvenes tomanregularmente Coca-Cola, cuando tienen sed. Una muestra aleatoria de 450 jóvenes reveló que162 de ellos solían tomar dicha bebida cuando tenían sed.i. ¿Cuál podría ser su conclusión al nivel del 1% de significancia acerca de lo quemuestran las estadísticas?ii. ¿Cuál podría ser su conclusión al nivel del 5% de significancia acerca de lo quemuestran las estadísticas?PROBLEMA 5.La media de una muestra es de 49 y el tamaño de la muestra es de 36, la desviación estándares 3. Utilice el nivel de significancia de 0.02 para probar las siguientes hipótesis:⎧ H 0 : μ = 50⎨⎩ H1 : μ ≠ 50PROBLEMA 6.La cadena de restaurante “Campero” afirma que el tiempo de espera para el servicio deatención tiene una distribución normal, con una media de 3 minutos y una desviación 1minuto. El departamento de aseguramiento de calidad descubrió en una muestra de 50clientes que el tiempo medio de espera es de 2 minutos, en el nivel de significancia de 0.05 ¿Sepuede llegar a la conclusión de que el tiempo de espera en promedio es menos de tresminutos?PROBLEMA 7.De un análisis exhaustivo de lo obra de un cierto autor, un investigador concluye que esteautor escribe frases cuya longitud siguen una distribución normal con media μ = 31 .5palabras y desviación estándar σ = 6.8 palabras. El investigador ahora lee otro escrito tal vezpor el mismo autor, en el cual la longitud promedio de 80 frases es 34 palabras. Pruebe si lalongitud media de la nueva obra es consistente con el trabajo del conocido autor. Enuncie lahipótesis nula y alternativa y presente claramente su conclusión.Página 2 de 7 UNIVERSIDAD DE EL SALVADOR.FACULTAD MULTIDISCIPLINARIA DE OCCIDENTEDEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA.GUÍA DE PROBLEMAS # 3: ESTADÍSTICA IICONTRASTE PARA UNA POBLACIÓN PROBLEMA 8.El dueño de una fábrica sostiene que su producto tiene una vida media de 10 años. Paracomprobar tal afirmación se toma una muestra de 120 productos comprobándose que su vidamedia había sido de 9.6 años y su desviación típica de 1.2 añosi. ¿Qué se puede decir de la afirmación del fabricante, supuesto que sus productossiguen una distribución Normal, con un nivel de confianza del 95 %?ii. ¿Cómo se verá afectada la conclusión anterior si la desviación típica hubiese sido de1.5?PROBLEMA 9.Sea X una variable aleatoria distribuida según una N ( μ ;32 ) . A partir de la muestra: 6, 7, 8, 3,5, 6, 7, 8, 9, 1, 7, 6, 3, 8, 9, 7, contraste, con un nivel de significación de 0.05, la hipótesis de quela media real sea 5.PROBLEMA 10.Se sabe que el promedio de las calificaciones de los estudiantes en la asignatura de Estadísticaen los últimos dos años ha sido de 5.6. Tras tomar una muestra aleatoria de 30 estudiantesdel presente curso, se obtuvo un promedio de 6.4 y una desviación típica de 1.25. Suponiendoque se distribuyen normalmente, ¿se puede afirmar que los alumnos de este año obtuvieroncalificaciones por encima de lo habitual?PROBLEMA 11.Se sabe que ciertas piezas de una máquina tienen una vida media de 1940 horas. Al variaruno de sus componentes se observa que una muestra de 100 piezas ha dado una duraciónmedia de 2000 horas y una desviación típica de 150 horas. ¿Se puede afirmar a un nivel designificación del 10% que el componente modificado ha supuesto un cambio significativo enla duración media de las piezas?PROBLEMA 12.Se tiene que reparar una máquina en cierta fábrica si produce más del 10% de artículosdefectuosos del gran lote de producción de un día. Una muestra aleatoria de 100 artículos dela producción contiene 15 defectuosos y el supervisor decide que debe repararse la máquina.¿La evidencia de la muestra apoya la decisión del supervisor? Utilice un nivel de significanciadel 1 %.Página 3 de 7 UNIVERSIDAD DE EL SALVADOR.FACULTAD MULTIDISCIPLINARIA DE OCCIDENTEDEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA.GUÍA DE PROBLEMAS # 3: ESTADÍSTICA IICONTRASTE PARA UNA POBLACIÓN PROBLEMA 13.El fabricante de un determinado aparato de medida garantiza que este tiene una desviacióntípica de 0.25 unidades. Transcurrido un periodo de 9 meses, una muestra de 20 medidasproporcionó una desviación típica de 0.32 unidades. ¿Puede afirmarse con un nivel designificación del 5% que el aparato de medida está estropeado? ¿Y con un 1% designificación?PROBLEMA 14.Durante 100 años la desviación típica de las temperaturas anuales máximas de una ciudad hasido de 16oF. Pero en los últimos 12 años se estuvo tomando la temperatura máxima los díasuno de cada mes y dio una desviación típica de 10oF. Supuesto que la temperatura sedistribuya normalmente, ¿se puede afirmar con un 95% de fiabilidad que la variabilidad delas temperaturas ha disminuido?PROBLEMA 15.Sea X()siguiendo una distribución normal N μ, σ 2 . Una prueba es necesaria paraH 0 : σ 2 = 0.04 contra H1 : σ 2 ≠ 0.04 , basado en una muestra aleatoria de tamaño n = 13 . Si S 2observado es 0.058, ¿se rechaza H 0 : σ 2 = 0.04 al nivel de significancia del 5%?PROBLEMA 16.Un fabricante de televisores afirma que poco menos del 20% de sus tubos de imágenes fallandentro de 2 años. Se encontró en una muestra aleatoria de tamaño 100 que 18 tubos deimágenes fallaron en 2 años.¿es razonable la afirmación del fabricante?PROBLEMA 17.Se sabe que el porcentaje de curación espontánea de una determinada enfermedad es del 30%.Para asegurar la eficacia de un nuevo tratamiento se selecciona aleatoriamente una muestrade 100 enfermos y se les somete a tal tratamiento, obteniéndose que el porcentaje de personascuradas es del 45%. ¿Se puede afirmar la eficacia del mencionado tratamiento con unaconfianza del 95 %?Página 4 de 7 UNIVERSIDAD DE EL SALVADOR.FACULTAD MULTIDISCIPLINARIA DE OCCIDENTEDEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA.GUÍA DE PROBLEMAS # 3: ESTADÍSTICA IICONTRASTE PARA UNA POBLACIÓN PROBLEMA 18.Una agencia de empleos, critica el hecho de que el 30% de las personas que son colocadas nopasan la prueba de trabajo en los tres meses. Se quieren comprobar esta crítica y del archivode colocación de empleados, selecciona una muestra de 25 empleados y se encuentra que 7 nopasaron la prueba. ¿Se puede justificar esta crítica?PROBLEMA 19.En la distribución N ( μ ,1) , contrástese las hipótesis⎧H0 : μ = 6⎨⎩ H1 : μ = 4Hállese la región crítica y la potencia del contraste si el nivel de significancia es igual a 0.05 yla muestra aleatoria es de tamaño 4.PROBLEMA 20.()En la distribución N μ ,122 , contrástese las hipótesis⎧ H 0 : μ = −5⎨⎩ H 1 : μ En muestras aleatorias de tamaño 9 y con un nivel de significancia de 15%, siendo la muestraextraída: -20.06, 4.56, -17.20, 6.05, 3.17, -0.28, 0.63, -15.26, -3.16.PROBLEMA 21.Contrástese con un nivel de significancia del 20%, las hipótesis⎧H0 : σ 2 = 4⎨2⎩ H1 : σ ≠ 4Tomemos para esto una muestra aleatoria de tamaño 7, cuyo resultado es: 7.1, 5.3, 4.7, 8.0, 9.9,3.4 y 3.6.Página 5 de 7 UNIVERSIDAD DE EL SALVADOR.FACULTAD MULTIDISCIPLINARIA DE OCCIDENTEDEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA.GUÍA DE PROBLEMAS # 3: ESTADÍSTICA IICONTRASTE PARA UNA POBLACIÓN PROBLEMA 22.De una población N ( μ ,1) , se observa una muestra de tamaño 5. Se considera el contraste dehipótesis⎧H0 : μ = 1⎨⎩ H1 : μ = 3{}Y la región crítica dada por: C = X > 2.5i. Calcular las probabilidades de los dos tipos de error.ii. Para la muestra: 2.5, 3, 1.2, 2.1 y 3.2, ¿qué decisión debe tomarse?PROBLEMA 23.Se sospecha que el medio de una partida de paquetes de garbanzos no llega a un kilo, talcomo se indica en el envase. Para ello se selecciona una muestra de 9 paquetes, resultando lossiguientes pesos en gramos:1010, 989, 999, 1005, 956, 989, 992, 1025, 1050Contrastar la afirmación anterior, para un nivel de significancia del 5%.PROBLEMA 24.Las normas de fabricación impuestas a los fabricantes sobre la resistencia a rotura de un tipode hilo son μ = 300 gramos y σ = 20 gramos. Se pretende contrastar estas normas en unnuevo proceso de fabricación con un error del 5%, en los siguientes supuestos:i. En una muestra de 100 bobinas de hilo se comprobó que x = 305 y S = 22 .ii. En una muestra de 10 bobinas donde x = 316 y S = 10 .PROBLEMA 25.Contrastar la hipótesis de que el contenido medio de las latas de gasolina de una determinadamarca sea 5 litros si los contenidos de 9 recipientes son: 5.1, 4.85, 5.05, 5.15, 5.06, 4.9, 4.95, 5.2,5.15. Elegir un nivel de significancia del 1%. Se supone que la distribución de los contenidoses normal.Página 6 de 7 UNIVERSIDAD DE EL SALVADOR.FACULTAD MULTIDISCIPLINARIA DE OCCIDENTEDEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA.GUÍA DE PROBLEMAS # 3: ESTADÍSTICA IICONTRASTE PARA UNA POBLACIÓN PROBLEMA 26.En el paquete de una marca de cigarrillos se afirma que el contenido medio de nicotina noexcede los 3.5 miligramos. En una muestra de 10 cigarrillos se ha encontrado una media de4.1 miligramos con una desviación típica de 1.3. Contrastar la hipótesis con un nivel designificancia del 5%.PROBLEMA 27.Después de un cambio tecnológico, una industria que tiene establecida su producción mediaen 12000 unidades mensuales, observa su producción durante los 12 meses siguientes,obteniendo las siguientes producciones (en miles de unidades): 12.2, 12.4, 11.6, 13.1, 10.9, 12.4,11.3, 11.7, 12.2, 12.7, 11.9, 11.8. Contrastar a un nivel de significancia del 5%, si el cambiotecnológico ha afectado a la dispersión de la producción que estaba en σ = 1500 unidades pormes.PROBLEMA 28.La oficina de control de tránsito sostiene que el 40% de conductores de vehículos de servicioparticular tienen pase de conducción vencida. Se lleva a cabo una muestra de 20 conductores,encontrando que 9 de ellos tienen pase vencido. ¿Al 5% de nivel de significancia, se puedeafirmar que el porcentaje es mayor que el señalado por la oficina?PROBLEMA 29.La duración media de una muestra de 10 bombillas es 1250 horas, con una cuasidesviacióntípica de muestral de 115 horas. Se cambia el material del filamento por otro nuevo y,entonces, de una muestra de 12 bombillas se obtuvo una duración media de 1340 horas, conuna cuasidesviación típica de 106.i. ¿Puede aceptarse que las varianzas, antes y después del cambio, son iguales? ¿Bajo quéhipótesis?ii. ¿Ha aumentado la duración media de las bombillas?

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