LA PERPENDICULARIDAD, EL PARALELISMO Y LOS ÁNGULOS

Medidas de los ángulos
1. sistema sexagesimal
  1. un sistema de numeración en base 60, es cada unidad se divide en 60 unidades más pequeñas.
  2. cada grado(º) está formado por 60 minutos (′) y, a su vez, cada minuto está formado por 60 segundos (′′).
  3. Suma de dos ángulo
    1. Paso 1:Las unidades de los dos ángulos (grados con grados, minutos con minutos y segundos con segundos) y resolvemos la suma.
    2. Paso 2: Si el número de segundos sobrepasa los 60”, dividimos dicho número entre 60. El cociente se añade a los minutos y el resto se queda como segundos.
    3. Paso 3:caso de que se superen los 60′, repetimos el procedimiento para los minutos. El resultado obtenido es el resultado de la suma de
  4. Resta de ángulo
    1. Paso 1: las unidades de los dos ángulos (grados con grados, minutos con minutos y segundos con segundos).
    2. Paso 2: Si el número de segundos del minuendo es inferior al del sustraendo, convertimos un minuto del minuendo en sesenta segundos (1′ = 60”).
    3. Paso 3: En el caso de que el número de minutos del minuendo sea inferior al del sustraendo, repetimos el procedimiento y convertimos un grado en 60 minutos (1 ̊ = 60′).
    4. Paso 4: Resolvemos la resta.
  5. Multiplicación de un ángulo por un número entero
    1. Paso 1: Multiplicamos por el número entero los grados, minutos y segundos por separado.
    2. Paso 2: Si el número de segundos resultante sobrepasa los 60”, dividimos dicho número entre 60. El cociente se añade a los minutos y el resto se queda como segundos.
    3. Paso 3: En el caso de que se superen los 60′, repetimos el procedimiento para los minutos. El resultado obtenido es el resultado de la multiplicación.
  6. Divisíón de un ángulo por un número entero
    1. Paso 1: Dividimos los grados entre el número entero. El cociente son grados y el resto, multiplicado por sesenta, debe añadirse a los minutos.
      1. Paso 2: Repetimos el procedimiento para los minutos. Si el resto no es cero, lo multiplicamos por sesenta para obtener su equivalente en segundos.
    2. Paso 4: Unimos el resultado de los tres cocientes para obtener el resultado de la división.
    3. Paso 3: Repetimos el procedimiento para los segundos.
Clasificación de los ángulos
1. Según su amplitud
  1. Ángulo nulo
    1. Los dos lados son coincidentes, por lo tanto, forman un ángulo de 0 ̊.
  2. Ángulo recto
    1. Sus lados son perpendiculares y el ángulo que se forma es de 90 ̊.
  3. Ángulo agudo
    1. Sus lados forman un ángulo mayor que 0 ̊ y menor que 90 ̊, es decir, el ángulo tiene una abertura menor que un ángulo recto.
  4. Ángulo obtuso
    1. Sus lados forman un ángulo mayor que 90 ̊ y menor que 180 ̊, es decir, tiene una abertura mayor que un ángulo recto.
  5. Ángulo llano
    1. Sus lados están sobre una misma recta, es decir, forman un ángulo de 180 ̊.
  6. Ángulo completo
    1. Sus lados son coincidentes, es decir, forman un ángulo de 360 ̊.
2. Según la posición de sus semirrectas
  1. Ángulo cóncavo
    1. La amplitud es mayor que 180 ̊ y menor que 360 ̊.
  2. Ángulo convexo
    1. La amplitud es mayor que 0 ̊ y menor que 180 ̊.
3. Ángulos consecutivos y adyacentes
  1. Ángulos consecutivos
    1. Poseen el mismo vértice y tienen un lado común.
  2. Ángulos consecutivos
    1. Tienen el vértice y un lado en común, al tiempo que sus otros dos lados son semirrectas opuestas y juntos equivalen a un ángulo llano.
4. Ángulos complementarios y suplementarios
  1. Según el ángulo que forman sus lados (dos ángulos que suman un ángulo recto o un ángulo llano)
    1. Ángulos complementarios
      1. Dos ángulos A y B son ángulos complementarios si suman 90 ̊. Si conocemos A, obtenemos B con la siguiente operación: B = 90° − A
    2. Ángulos suplementarios
      1. Dos ángulos A y B son ángulos suplementarios si suman 180 ̊. Si conocemos A, obtenemos B con la siguiente operación: B = 180° − A
Operaciones gráficas con ángulos
1. suma
  1. sumar dos ángulos gráficamente,dibujar los dos ángulos de manera consecutiva,compartiendo el vértice y un lado, para dar lugar a otro ángulo que los comprenda a ambos.
2. Resta
  1. restar dos ángulos gráficamente,superponerlos, de manera que compartan vértice y un lado. Así, el ángulo mayor comprende al menor, y la parte restante es la diferencia entre ambos, es decir, el resultado de la resta.
3. Multiplicación por un número natural
  1. multiplicar grá camente un ángulo por un número natural, es necesario colocar el ángulo en posición consecutiva consigo mismo tantas veces como indique el número natural.
4. División entre un número natural
  1. dividir un ángulo grá camente, primero se debe realizar la división de forma numérica y después representar los ángulos resultantes con el transportador.
5. Construcción de rectas paralelas
  1. Paso 1: Centramos el compás en P y trazamos un arco de circunferencia con una abertura cualquiera que corte con r. Llamamos A al punto de intersección entre el arco y la recta r.
    1. Paso 2: Centramos el compás en A y, manteniendo la misma abertura, trazamos otro arco que pase por P y corte r. Llamamos B al punto de intersección entre el arco y la recta r.
      1. Paso 3: Con el compás, tomamos la abertura desde B a P.
        Paso 4: Con la nueva amplitud, centramos el compás en A y marcamos la intersección con el arco que pasa por A. Llamamos C a este punto.
        Paso 5: Si unimos P y C con una regla, obtenemos la recta s, que es paralela a la recta r.
6. División de un segmento en partes iguales
  1. Paso 1: Desde el extremo A del segmento trazamos con la regla una semirrecta r, que puede tener cualquier inclinación.
    1. Paso 2: Sobre la semirrecta r, construimos segmentos iguales, uno a continuación del otro. Para ello, centramos el compás en A y, con una abertura cualquiera, trazamos un pequeño arco sobre r. Repetimos el proceso centrando el compás en la intersección del pequeño arco con r y mantenemos la misma abertura. Repetimos este paso tantas veces como divisiones queramos hacer.
      1. Paso 3: Trazamos con la regla una recta que pase por el extremo del último segmento y por el punto B.
        Paso 4: Con la escuadra y el cartabón, trazamos rectas paralelas a la que hemos dibujado en el paso anterior. Las intersecciones de estas líneas con AB serán todas las divisiones del segmento.
        Después
        Paso 1: Dibujará el primer lado.
        Paso 2: Dibujará el segundo lado contiguo.
        Paso 3: Dibujará los otros dos lados que faltan para completar la cuadrícula.
        Paso 4: Dividirá los cuatro lados en ocho partes iguales.
        Paso 5: Trazará la cuadrícula y pintará las casillas de blanco y negro.
Construcciones con regla y compás
1. Construcción de rectas perpendiculares
  1. Paso 1: Centramos el compás en A y trazamos un arco con una abertura cualquiera. Llamamos C a la intersección del arco con la recta r.
    1. Paso 2: Centramos el compás en C y, manteniendo la misma abertura, marcamos la intersección con el arco. Llamamos D a este punto.
      1. Paso 3: Centramos el compás en D y, manteniendo la misma abertura, generamos un nuevo arco que corte el arco dibujado en el primer paso. Llamamos E al punto de intersección entre los dos arcos.
        Paso 4: Centramos el compás en E y, manteniendo la misma abertura, marcamos la intersección con el arco creado en el paso anterior. Llamamos F a este punto.
        Paso 5: Si unimos F y A con una regla, obtenemos la recta s, que es perpendicular a la recta r.
Construcciones con GeoGebra
1. Paso 1: Con la herramienta Semirrecta trazamos una semirrecta r desde uno de los extremos del segmento AB.
  1. Paso 2: Dividimos la semirrecta r en cuatro partes iguales. Para ello, seleccionamos la herramienta Circunferencia (centro, radio) y dibujamos cuatro circunferencias del mismo radio. La primera circunferencia la centramos en B y marcamos el punto de intersección con r, que será D. La segunda circunferencia la centramos en D y marcamos el punto de intersección con r, que será E, y así sucesivamente.
    1. Paso 3: Con la herramienta Segmento unimos los puntos G y A.
      1. Paso 4: Para hacer las divisiones en el segmento AB, con la herramienta Recta paralela trazamos paralelas a h que pasen por los puntos F, E y D.
        Paso 5: Marcamos las intersecciones de estas paralelas con el segmento AB y las llamamos H, I y J. Podemos ocultar todas las rectas y puntos intermedios, ya que no los necesitamos para el dibujo de las vías del tren.
2. Construcción de rectas perpendiculares
  1. Paso 1: Utilizamos la herramienta Recta perpendicular y trazamos rectas perpendiculares a AB que pasen por H, I y J. Para ello, pulsamos sobre el punto y después sobre el segmento AB.
  2. Paso 2: Para comprobar que realmente son líneas perpendiculares y el ángulo entre ellas es de 90 ̊, podemos usar la herramienta Ángulo y hacer clic en las rectas vertical y horizontal.
3. Construcción de rectas paralelas
  1. Paso 1: Seleccionamos la herramienta Recta paralela y, haciendo clic sobre el segmento AB y arrastrando el cursor hacia la derecha, la dibujamos donde creamos conveniente.

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