Problemas de Álgebra. Álgebra elemental y problemas de representación.

Consejos para la representación algebraica.

  Pasos para resolver problemas de planteo algebraico:   1.Interpretar correctamente el significado de la expresión hablada o escrita, asignando a las variables o incógnitas las últimas letras del alfabeto. 2.Escribir la expresión o expresiones algebraicas procurando referir todas las variables a una sola que pudiera llamarse X. Cuando haya más variables relacionadas establecer una relación con X y nombrarlas como Y o Z. 3.Relacionar la información ya simbolizada para establecer una ecuación o inecuación. 4.Resolver la ecuación o inecuación. Interpretar la solución algebraica en términos del lenguaje ordinario comprobando que satisface las condiciones estipuladas También  puede servir una introducción al planteamiento de problemas con el siguiente video: https://www.youtube.com/watch?v=EYG1XvNUZF0  

Encuentre las dimensiones de un terreno rectangular con un perímetro de 540 metros, si sabemos que el largo mide 30 metros más que el ancho. 1.Los rectángulos tienen dos lados largos y dos lados anchos. 2.Tenemos que la suma de todos sus lados es igual a 540 metros. 3.El largo es 30 metros más grande que el ancho. 4.El ancho puede expresarse como la cantidad desconocida X. L= Largo= x+30; ancho= X.  Perímetro=(2L)+(2X)     540=2L+2X 270-(X+30)=X 270=X+(X+30) 270=2X+30 240/2=X; 120=X; L=120+30; L=150  (-2L+540)/2=X 2(120)+2(150)=540    -2L/2+540/2=X 240+300=540    -L+270=X 540=540    270-L=X

Plantee el problema y resuélvalo.

Plantee y Resuelva:

Si la suma de dos números es 21 y un número es el triple de otro. ¿Cuáles  son estos números? La suma de dos números: X+Y. Es también se puede representar como igual a (=). X+Y=21; Y=3X  X+3X=21; 4X=21; X=21/4=5.25; Y=3*5.25=15.75; 5.25+15.75=21; 21=21. Entonces los números son 5.25 y 15.75; el segundo es el triple del primero y los dos suman 21.   El dígito de las decenas de un cierto número de dos dígitos es 4 unidades mayor que el dígito de las unidades y es una unidad menor que el doble del dígito de las unidades. XY=?;  X=Y+4; X=2Y-1; 2Y-1=Y+4;  2Y-Y=4+1;  Y=5;  X=5+4;  X=9 XY=95

Dos corredores recorren una pista circular de un kilómetro en 6 y 10 minutos. Si arrancan al mismo tiempo del mismo lugar y en la misma dirección. ¿En cuantos minutos pasará el más rápido al más lento?   Habrá que sacar la velocidad de cada uno. Llamaremos A al más rápido y B al más lento. La velocidad de A será d/t =1Km/6m.  La de B, d/t=1Km/10m. A=1Km---6m  B=1Km---10m      xKm---60m xKm=10Km/h       xKm---60m xKm=6Km/h.  10/60-6/60=4/60 =15Km/60m; Lo que quiere decir que solo después de 15 vueltas el más rápido se encontrará con el más lento. Y si aproximamos en tiempo: 1 km--- Xm  Xt=1km/4/60km  Xm=15m    15 km--- 60m         En 15 minutos el más Velocidad=distancia/tiempo  rápido alcanzará al más Tiempo=distancia/velocidad  lento

Plantea y Resuelve:

Plantea y Resuelve:

¿Cuántos kilos de nuez criolla que cuesta $20.00 el kilo, deben mezclarse con 30kg de nuez de castilla que cuesta $38.00/kg para obtener una mezcla que se vende a $26.00 el kilo.   Criolla $20/kg; kg=?                         26(x+30)=38*30 26x+780=20x+1140 26x-20x=1140-780 6x=360 X=60  

Castilla $38/kg; 30kg Mezcla $26/kg;  kg=? X=kg 30kg de Castilla 60kg de Criolla 90kg de mezcla

Plantea y Resuelve:

Si al aumentar 4 metros a cada lado de un cuadrado el área aumenta 64 metros cuadrados ¿Cuáles eran las medidas del cuadrado original? (x+4)^2=64+x^2 8x+16=64 8x=48 x=6

(6+4)^2=64+36 100-36=64 64=64 Originalmente el cuadrado medía 6*6m^2=36m^2 contra 100m^2 La suma de las edades de A y B, es 84 y B tiene 8 años menos que A. Hallar ambas edades. A+B=84; A-8=B  A+(A-8)=84  2A=84+8  2A=92 A=92/2 A=46; B+46=84; B=84-46; B=38; 46+38=84  A>B 

Plantea y Resuelve:

Pagué $87 por un libro, un traje y un sombrero. El sombrero costó $5 más que el libro y $20 menos que el traje. ¿Cuánto pagué  por cada cosa? Libro+traje+sombrero= 87  L+T+S=87;  x+(x+5)+(x+5+20)     L     S            T 3x+30=87;  3x=87-30;  3x=57;  x=57/3;  x=19 $19 cuesta el libro, $24 el sombrero y $44 el traje.   19+44+24=87

La suma de 3 números enteros consecutivos es 156. Hallar los números. x+x+1+x+2=156;  3x+3=156;  3x=156-3;  3x=153 x=153/3=51.   51+52+53=156    

Plantea y Resuelve:

La suma de las edades de A y B es 84 años, y B tiene 8 años menos que A. Hallar ambas edades. A+B=84;  A=B+8;  B+8+B=84;  2B=84-8 2B=76;  B=38;  A+38=84;  A=84-38;  A=46 46+38=84 La suma de dos números es 540 y su diferencia es 32. Hallar los números. A+B=540;  B-A=32;  B=32+A;  A+32+A=540;  2A=540-32;  2A=508; A=508/2;  A=254;  B=32+254;    B=286             A+B=540

Plantea y Resuelve:

Hallar cuatro números enteros  consecutivos cuya suma sea 74 x+x+1+x+2+x+3=74;  4x+6=74;  4x=74-6 4x=68;  x=68/4;  x=17;  17+18+19+20=74   Hallar dos números pares consecutivos cuya suma sea 194. x+x+2=194;  2x+2=194  2x=194-2;  x=192/2;  x=96;  96+98=194

Pagué $325 por un caballo, un coche y sus arreos. El caballo costó $80 más que el coche y los arreos. $25 menos que el coche. Hallar los precios respectivos. 1 caballo+ 1 coche+ arreos=325 x+80       +  x           + x-25     =325 3x+55=325;  3x=325-55 X=270/3=90   Ca=90+80=170 Co=90 Ar=90-25=65 Ca+Co+Ar=325 170+90+65=325

Plantea y Resuelve:

La suma de 3 números es 200.  El mayor excede al del medio en 32 y al menor en 65. Hallar los números. x+y+z=200; x+x-32+x-65=200 3x-97=200;  3x=200+97 x=297/3=99. 99+67+34=x+y+z

En un hotel de dos pisos hay 48 habitaciones si las habitaciones del segundo piso son la mitad de la del primero. ¿Cuántas habitaciones hay en cada piso? A+B=48 A+1/2A=48 2/2A+1/2A=48 3/2A=48 3A=48*2 A=96/3=32 A+B=48 32+16=48 A=Primer piso B=Segundo piso

Si un número se multiplica por 8, el resultado es el número aumentado en 21. Hallar el número A+B=48 A+1/2A=48 2/2A+1/2A=48 3/2A=48 3A=48*2 A=96/3=32

Plantea y Resuelve:

A+B=48 32+16=48 A=Primer piso B=Segundo piso

Si un número se multiplica por 8, el resultado es el número aumentado en 21. Hallar el número.   x*8=8x=x+21;  8x=x+21;  8x-x=21;  7x=21;  x=21/7=3

Plantea y Resuelve:

La edad de María es el triplo de la de Rosa más quince años y ambas edades suman 59 años. Hallar ambas edades.   M=3R+15  3R+R+15=59  4R=59-15  4R=44  R=44/4 R=11. M=3(11)+15=33+15=48. R+M=59; 11+48=59  

La edad de Enrique es la mitad de la de Pedro; la de Juan el triplo de la de Enrique Y la de Eugenio el doble de la de Juan. Si las cuatro edades suman 132 años. ¿Qué edad tiene cada uno? Enrique, Pedro,    Juan,     Eugenio=132. 1/2x       + 2/2x     +3/2x+        6/2x=132 12/2x=132;  12x=132(2);  x=132(2)/12 X=264/12=22. Pedro=22 Enrique=11 Juan=33 Eugenio=66 Total=132

Plantea y Resuelve:

La edad de María es el triplo de la de Rosa más quince años y ambas edades suman 59 años. Hallar ambas edades. M=3R+15  3R+R+15=59  4R=59-15  4R=44  R=44/4 R=11. M=3(11)+15=33+15=48. R+M=59; 11+48=59 La edad de Enrique es la mitad de la de Pedro; la de Juan el triplo de la de Enrique Y la de Eugenio el doble de la de Juan. Si las cuatro edades suman 132 años. ¿Qué edad tiene cada uno? Enrique, Pedro,    Juan,     Eugenio=132. 1/2x       + 2/2x     +3/2x+        6/2x=132 12/2x=132;  12x=132(2);  x=132(2)/12 X=264/12=22. Pedro=22 Enrique=11 Juan=33 Eugenio=66 Total=132

Plantea y Resuelve:

Preguntando un hombre por su edad, responde: Si al doble de mi edad se quitan 17 años se tendría lo que me falta, para tener 100 años. ¿Qué edad tiene el hombre? 2x-17=100-x 3x=100+17 x=117/3 x=39 El hombre tiene 39 años

El exceso de 8 veces un número sobre 60 equivale al exceso de 60 sobre 7 veces el número. Hallar el número 8x+60=60+7x x=60-60=0 El número es cero. 8(0)+60=60+7(0) 0+60=60+0; 60-60=0

Plantea y Resuelve:

Dos ángulos suman 180° y el duplo del menor excede en 45° al mayor. Hallar los ángulos. x+y=180;  2y-45=x  2y-45+y=180  3y=180+45;  3y=225;  y=225/3=75 105°+75°=180°

Una  varilla de 84 cm de longitud está pintada de rojo y negro. La parte roja es 4 cm menor que la parte pintada de negro. Hallar la longitud de cada parte. R+N=84;  R=N-4.  N-4+N=84;  2N=84+4;  2N=88 N=88/2;  N=44;  R+44=84  R=84-44=40

Plantea y Resuelve:

Un hacendado ha comprado doble de número de vacas que de bueyes. Por cada vaca pagó $70 y por cada buey $85. Si el importe de la compra fue de $2700, ¿Cuántas vacas y cuántos bueyes compró?   V+B=2700;  2B(70)+B(85)=2700;  140B+85B=2700 225B=2700;  B=2700/225=12; A=24. 24(70)+12(85)=2700;  1680+1020=2700

Plantea y Resuelve:

Se han comprado 96 aves entre gallinas y palomas. Cada gallina costó 80 centavos Y cada paloma 65 centavos. Si el importe de la compra ha sido $69.30. ¿Cuántas gallinas y cuántas palomas se han comprado?   G+P=96.  G(0.80)+P(0.65)=69.30;  0.80(96-P)+(0.65)(P)=69.30 76.80-0.80P+0.65P=69.30;  -0.80P+0.65P=69.30-76.80;  -0.15P=-7.5 P=7.5/0.15=50;  0.80(96-50)+(0.65)(50)=69.30; G(0.80)+50(0.65)=69.30;  G(0.80)=69.30-32.50; G(0.80)=36.80 G=38.80/0.80=46 Hay 46 gallinas y 50 palomas.