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Description
Flashcards by David Bratschke, updated more than 1 year ago
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Created by David Bratschke
about 7 years ago
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| Question | Answer |
| Was ist eine Reihe? | Die Folge der Partialsummen einer Folge. |
| Was ist eine Partialsumme? | Die Summe der n-ten Folgenglieder einer Folge |
| Wie lautet die Formel für die n-te Partialsumme einer Folge? | \( s_n = \sum\limits_{k=1}^{n} a_k \) |
| Wie lässt sich der Grenzwert einer Reihe : \( \lim\limits_{n \to \infty} s_n\) durch das Summationssymbol schreiben? | Als: \( \sum\limits_{n = 1} ^{\infty} a_n = s \) |
| In welchen beiden Fällen kann der Ausdruck: \( \sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n \) auftreten? | Einmal als Bezeichnung der Folge der Partialsummen \((s_n)\) und als Grenzwert der Folge der Partialsummen (sofern konvergent) |
| Was ist die harmonische Reihe? | Die zur Folge: \( \frac{1}{k} \) gehörende Reihe: \( \sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k} \) |
| Was ist die geometrische Reihe? | Die zur Folge: \( q^n \) gehörende Reihe: \( \sum\limits_{n=0}^{\infty} q^n \) |
| Warum ist bei der geometrischen Reihe: \( \sum\limits_{n=0}^{\infty} q^n \) = \( \frac {1- q^{n+1}} {1-q} \) | Das lässt durch Induktion nach n zeigen. Bzw. durch die entstehende Teleskopsumme bei der Multiplikation der Reihe mit dem Term (q-1) |
| Für welche q konvergiert bzw. divergiert die geometrische Reihe \( \sum\limits_{n=0}^{\infty} q^n \) ? | Für |q| >= 1 divergiert die Reihe und Für |q| < 1 konvergiert sie gegen \( \frac {1}{1-q} \) |
| Was ist die Taylorreihe im Entwicklungspunkt a und wie lautet die Formel? | Eine unendliche Summe zur Annäherung von Funktionen. Im Grunde ein unendliches Taylorpolynom. \( \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{f^{n}(a)}{n!} (x-a)^n \) |
| Beschreibe mit eigenen Worten wie die einzelnen Summanden der Taylorreihe gebildet werden. | (Die n-te Ableitung an der Stelle geteilt durch n Fakultät) mal ((x minus die Stelle) hoch n) |
| Wann ist die Taylorreihe zu einer Funktion f im Entwicklungspunkt a gleich der Funktion selbst? | Wenn die Folge der Restglieder eine Nullfolge ist. |
| Was ist die Exponentialreihe? | Die Taylorreihe, welche gegen die Funktion exp(x) konvergiert. |
| Welche Taylorreihe mit (Enwicklungspunkt 0) entspricht im Grenzfall der Exponentialfunktion? | Die Reihe: \( \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} \) |
| Wie wird die folgende Reihe genannt: \( \sum\limits_{n=0}^{\infty} -1^{(n-1)} \frac {x^n}{n} \) ? | Logarithmusreihe. |
| Was ist die Taylorreihe im Entwicklungspunkt 0 von: f(x) = ln (1 + x)? | Die Logarithmusreihe: \( \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n} (-1)^{n-1} \) |
| Was ist die alternierende hamonische Reihe? | \( \sum\limits_{n=0}^{\infty} -1^{n-1}\frac{1}{n} \) |
| Worin unterscheiden sich die harmonische Reihe und die alternierende harmonische Reihe in ihrem Konvergenzverhalten? | Die harmonische Reihe ist divergent während die alternierende Version konvergent ist. |
| Ist eine Reihe konvergent, so ist die zugehörige Folge \(( a_n)\)..? | Eine Nullfolge |
| Ist eine Reihe konvergent, dann ist die Folge der Partialsummen..? | beschränkt. |
| Eine Reihe ist genau dann konvergent, wenn...? | Die Folge der Partialsummen beschränkt ist und die Glieder der Reihe nicht negativ sind. |
| Wenn die Folge der Partialsummen einer Reihe eine Cauchyfolge ist, dann ist die Reihe? | konvergent |
| Wie kann man aus gegebenen konvergenten Reihen weitere konvergente Reihen bilden? | Durch Addition der Reihen oder durch Multiplikation mit einem Skalar |
| Die Summe zweier konvergenter Reihen A und B ist.. ? und es gilt..? | ebenfalls konvergent, und es gilt: \( \sum a_n + b_n = \sum a_n + \sum b_n \) |
| sei \( \alpha \epsilon R \) und \( (s_n) \) eine konvergente Reihe der Folge \((a_n)\), dann ist: \( \sum \alpha * a_n \) = ? | \( \alpha * s_n \) |
| Sind zwei Reihen konvergent, dann ist ihr Produkt ..? | Nicht zwangsläufig auch konvergent |
| Wann ist das Produkt von zwei konvergenten Reihen a und b ebenfalls konvergent? | Wenn die Reihe der Absolutbeträge der Glieder konvergent sind. |
| Wann lässt sich das Cauchypodukt zweier Reihen A und B bilden und wie wird es gebildet? | Wenn die Reihen der Absolutbeträge der Glieder konvergent sind. Dann gilt: C = A * B |
| Aus welchen zwei Teilen setzt sich die Formel für die Taylorreihe zusammen? | 1. Teil Formel zur Berechnung des Koeffizienten eines Taylorpolynoms: \(a_k\) 2. der polynomiale Term des jeweiligen Grades selbst abzüglich der Stelle a \( (x-a)^k \) |
| Mit welchem Symbol wird die n-te Partialsumme eine Folge bezeichnet? | \( s_n \) |
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