12.2.3 Folgerungen aus dem Schnittaxiom

Question	Answer
Wann ist x ein Minimum bzw. kleinstes Element einer Menge M? (Teilmenge von R)	wenn gilt: x ≤ m für alle m aus M
Wann ist x ein Maximum bzw. größtes Element einer Menge M (Teilmenge aus R)?	wenn gilt: x ≥ m für alle m aus M
Was wird für ein Maximum und Minimum zusätzlich verlangt, außer dass diese größer bzw. kleiner als die anderen Elemente sind?	Dass sie ebenfall Teil der Menge selbst sind.
Welche Eigenschaft muss eine Teilmenge von R haben, damit es ein Minimum bzw. Maximum geben kann?	Die Menge muss endlich und nicht leer sein.
Was ist eine untere Schranke einer Menge M?	eine reelle Zahl a, die nicht Element der Menge M sein muss, die kleiner (bzw. gleich) als alle Elemente der Menge ist.
Was ist eine obere Schranke einer Menge M?	Einen reelle Zahl b, (die nicht in M enthalten sein muss) zu der alle Elemente aus M kleiner bzw. gleich sind.
Was ist das sogenannte Infimum?	Die größte untere Schranke einer Menge, d.h.: zu jedem positiven \( \epsilon \) existiert ein x \( \epsilon M\) mit: x < s + \(\epsilon \)
Was ist das sogenannte Supremum?	Die kleinste obere Schranke einer Menge, d.h. zu jedem positiven \( \epsilon \) gibt es ein y \( \epsilon \) M mit: y > S - \( \epsilon \)
Wie stehen das Maximum und das Supremum einer Menge in Zusammenhang?	Wenn M ein Maximum hat, ist dieses auch das Supremum.
Wieviel Suprema gibt es zu einer Menge M?	Wenn eine Menge ein Supremum besitzt, dann ist dieses auch das Einzige. ==> Das Supremum ist eindeutig.
Wie stehen das Minimum und das Infimum einer Menge M in Zusammenhang?	Wenn M ein Minimum besitzt, dann ist dieses auch das Infimum.
Wieviele Infima kann eine Menge haben.	Nur eines. Das Infimum ist eindeutig.
Wie werden Minimum und Maximum einer Menge bezeichnet?	mit "min (M)" und "max (M)"
Wie werden Infimum und Supremum einer Menge bezeichnet?	mit "sup (M)" und "inf (M)"
Was besagt das Supremumsprinzip?	Jede nicht leere nach oben beschränkte Teilmenge von R besitzt ein Supremum.
Wo ist der Unterschied zwischen einer unteren Schranke und einem Minimum einer Menge?	Die Schranke muss nicht Teil der Menge sein. Das Minimum schon.
Muss das Supremum Teil der Menge sein?	Nein, denn es ist ja "nur" die kleinste obere Schranke, diese kann auch außerhalb der Menge liegen.
Was besagt das Infimumsprinzip?	Jede nicht leere, nach unten beschränkte Teilmenge von R besitzt ein Infimum.
Ergänze: Wenn jede nicht leere, nach oben beschränkte Teilmenge von R ein Supremum besitzt, dann besitzt jeder Dedekind’sche Schnitt ... ?	genau eine Trennungszahl
Wie stehen das Supremumsprinzip und das Schnittaxiom in Verhältnis?	Sie sind äquivalent
Welche Vorteile bieten jeweils das Schnittaxiom und das Supremumsprinzip?	Mit dem Supremumsprinzip kann man besser rechnen. Das Schnittaxiom ist anschaulicher.
Was besagt der Satz des Archimedes?	Dass die Menge der natürlichen Zahlen nach oben beschränkt ist.
Was besagt der Satz des Eudoxos?	Dass es zu jedem positiven \( \epsilon \) eine natürliche Zahl m gibt für die gilt: \( \frac{1}{m} < \epsilon \)
wie sind die rationalen Zahlen in den reellen Zahlen verteilt?	Q liegt dicht in R. d.h. zu jeder reellen Zahl gibt es in der beliebig wählbaren \( \epsilon \) -Umgebung zu dieser eine rationale Zahl r. a - \( \epsilon \) < r < a + \( \epsilon \)
Was bedeutet "Q liegt dicht in R"?	Dass sich jede reelle Zahl beliebig gut durch rationale Zahlen annähern (approximieren) lässt.
Wann ist eine Menge / Folge beschränkt?	Wenn sie eine obere und eine untere Schranke besitzt.

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