6. Vektorräume

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Was ist ein Vektorraum?	- ein Körper K und eine Menge V zwei Verknüpfungen: 1) Vektoraddition (V, +), abelsche Gruppe 2) Skalarmultiplikation (assoziativ, neutrales Element) 3) zwischen beiden gelten die Distributivgesetze
Was ist eine lineare Hülle / Span ?	Die Menge aller Linearkombinationen, welche sich aus einer gegebenen Menge an Vektoren bilden lässt.
Wie stehen die Begriffe "Bild einer Matrix" , lineare Hülle und "Erzeugendensystem" in Zusammenhang?	Das Bild einer Matrix ist eine lineare Hülle und eine lineare Hülle kann und wird i.d.R. Erzeugendensystem für ein Vektorraum sein.
Was ist ein Unterraum?	Eine Teilmenge eines Vektorraumes, für die das Unterraumkriterium gilt. oder: Ein Vektorraum in einem Vektorraum.
Was ist das Unterraumkriterium?	Damit kann man prüfen, ob eine Teilmenge eines Vektorraumes ein Unterraum ist.
Was muss für das Unterraumkriterium gegeben sein, damit U ein Unterraum von V ist?	1.) das Nullelement aus V liegt in U 2.) Abgeschlossenheit der Addition \( (u_1 + u_2) \epsilon U \) 3.) Abgeschlossenheit der Skalar-multiplikation \( (a * u) \epsilon U \)
Wo ist der Unterschied zwischen einem Körper und einem Vektorraum?	eine Vektorraum bezieht sich auf zwei Mengen K und V und die multiplikative Verknüpfung ist "nur" ein Monoid. Es braucht dazu kein inverses Element und keine Kommutativität. ==> Körper ist stärkere Struktur
Wie sieht die Produktmenge für die Skalarmultiplikation im Sinne der Vektorraumdefinition aus?	K x V --> V
Wie wird der Vektorraum über \( \mathbb{K} \) genannt, wenn \( \mathbb{K} = \mathbb{R} \) ?	reeller Vektorraum
Stellt die Menge der Matrizen \( M_{mn} (\mathbb{K}) \) einen Vektorraum dar?	ja.
ist \( \mathbb{K}^n \) ein Vektorraum? Was ist dabei \(\mathbb{K}^n \) ?	ja. \( \mathbb{K}^n \) ist die Menge der Vektoren, welche zu gegebenen n gebildet werden können. z.B.: n = 3 .. alle Vektoren im dreidimensionalen Raum
Nenne drei Beispiele für Vektorräume	- Matrizen auf K, - Vektoren \( \mathbb{K}^n \) - Lösungsmengen von homogenen Gleichungssystemen
Stellen Polynome einen Vektorraum dar?	ja.
Was ist ein Linearkombination?	Die Summe: \( a_1v_1 + ... + a_mv_m\) wobei a Skalare aus K sind und v Vektoren aus V
Wie nennt man die Skalare in a in der Definition der Linearkombination? \( a_1v_1 + ... + a_mv_m\)	Koeffizienten der Linearkombination
Sei S eine nichtleere Teilmenge eines Vektorraums V. Was ist dann eine lineare Hülle bzw. das Erzeugnis von S? und wie wird es formal bezeichnet?	Die Menge aller Linearkombinationen von endlich vielen Vektoren in S. Wird bezeichnet mit <S>
Wenn S eine Teilmenge eines Vektorraums V ist, dann ist <S> ...?	Ein Vektorraum.
Wie nennt man den Vektorraum <S>, welcher durch die Teilmenge S aus einem Vektorraum V erzeugt wird?	der durch S erzeugte Unterraum
Was ist ein Erzeugendensystem?	Eine Menge an Vektoren, mit denen man einen Vektorraum erzeugen kann. S ist Teilmenge von V, so dass: <S> = V
Gibt es zu jedem Vektorraum V ein Erzeugendensystem?	Ja. Mindestens immer, wenn man als Teilmenge S = V wählt.
Wann heißt ein Vektorraum V "endlich erzeugt"?	wenn dieser ein endliches Erzeugendensystem besitzt, <==> wenn es eine endliche Menge an Vektoren \( v_1 ... v_n \) in V gibt, so dass V = \( <v_1 ... v_n> \)

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