5.1 Lineare Gleichungssysteme

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Mathematik (Grundlagen KE 2) Flashcards on 5.1 Lineare Gleichungssysteme, created by David Bratschke on 16/04/2017.
David Bratschke
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Question Answer
Was bedeutet das "linear" bei linearen Gleichungssystemen? Dass die Variablen lediglich linear sind, also keine höheren Potenzen oder sin (x) oder dergleichen
Wie lässt sich ein lineares Gleichungssystem in Matrizenform überführen? Durch Ausklammern der Variablen zu einem Vektor x. Es entsteht die Koeffizientenmatrix A, so dass A * \( \vec x = \vec b \)
Was ist die sogenannte Inhomogenität? Der Vektor \( \vec b \) auf der rechten Seite der Gleichung bei einem LGS: A * \( \vec x = \vec b \)
Was ist ein homogenes LGS? Ein LGS bei dem auf der rechten Seite nur Nullen stehen. (bzw. in Matrixschreibweise der Nullvektor)
Was ist zu untersuchen, wenn nach der Existenz von Lösungen zu einem LGS gefragt ist? Ob das LGS überhaupt Lösungen besitzt.
Existiert zu jedem inhomogenen LGS ein homogenes LGS? ja.
Wie bildet man zu einem inhomogenen LGS, das zugehörige homogene LGS? indem man die Inhomogenität b einfach durch den Nullvektor ersetzt
Wann hat ein LGS genau eine Lösung? Wenn die Lösungsmenge des zugehörigen homogenen LGS lediglich aus dem Nullvektor besteht
Was ist die erweiterte Koeffizientenmatrix? Die Koeffizientenmatrix eines LGS bei dem als weitere Spalte (mit einem Längsstrich getrennt) die Inhomogenität hinzugefügt wurde. \( (A | \vec b ) \)
Wieviele Lösungen haben homogene LGS mindestens? Mindestens immer eine Lösung, nämlich der Nullvektor.
Wie steht die Lösungsmenge eines inhomogenen LGS mit ihrem homogenen LGS in Verhältnis? die Lösungsmenge des inhomogen LGS setzt sich zusammen aus einer speziellen Lösung des LGS und der Lösungsmenge des homogenen LGS \( L = \lambda_0 + U \)
Wenn die erweiterten Koeffizientmatrizen A' und B' von zwei LGS gleich sind, wie ist dann ihre Lösungsmenge? Die Lösungsmenge beider LGS ist gleich.
Wann hat ein lineares Gleichungssystem mindestens eine Lösung? Wenn der Rang der Koeffizientenmatrix gleich dem Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix ist. Rg (A) = Rg (A')
Was lässt sich über die Lösbarkeit eines LGS aussagen, wenn der Rang der Koeffizientenmatrix gleich dem Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix ist? Rg (A) = Rg (A') == > Das LGS hat mindestens eine Lösung.
Wenn T' = (T | d) die Treppennormalform zu A' ist, dann sind die Lösungsmengen von Ax = b und Tx = d ... ? gleich
Wann ist ein LGS lösbar? Wenn die Inhomogenität aus den Koeffizientenvektoren (Spalten der Koeffizientenmatrix) gebildet werden kann.
Betrachtet man Koeffizientenmatrix als eine Abbildung, wo muss dann die Inhomogenität liegen, damit ein LGS lösbar ist? im Bild (Spaltenraum) der Koeffizientenmatrix
Was ist der Spaltenraum (Bild) einer Matrix A? Die Menge an Vektoren, welche durch die Multiplikation der Matrix: A * Vektor herauskommen kann.
Was ist mit der Eindeutigkeit einer Lösung eines LGS gemeint? Eine Lösung ist eindeutig, sie die einzige Lösung des LGS ist.
Fasst man eine Maxtrix als eine lineare Abbildung (z.B. zum Transformieren von Vektoren) auf, wann können dann aus einer Matrix alle Vektoren "herauskommen"? Wenn der Spaltenraum der Matrix gleich \( R^m \) ist. (m = Anzahl der Zeilen) also wenn der Rang der Matrix = Anzahl der Zeilen
Was bedeutet es für die Lösungsmenge eines LGS, wenn man neben einer speziellen Lösung \( \lambda_0 \) eine weitere spezielle Lösung \( \lambda_1 \) gefunden hat? Dass es damit unendliche viele Lösungen für das LGS
Warum hat ein LGS, welches mehrere Lösungen hat, automatisch unendlich viele Lösungen? Man kann beide Lösungen ins LGS einsetzen und voneinander abziehen und erhält so das zugehörige homogene LGS. Dieses hat dann mehr als nur eine Lösung.
Wenn ein LGS eine Lösung \( \lambda_0 \) besitzt und der Rang der Matrix gleich der Anzahl der Spalten ist: Rg (A) = n , dann ist ...? \( \lambda_0 \) die einzige Lösung des LGS
Wie bestimmt man die Lösungsmenge eines homogenen LGS nachdem man es in TNF gebracht hat? - alle Nullzeilen streichen - Nullzeilen so einfügen, dass Matrix quadratisch und Pivotelemente auf Diagonale - Nullelemente auf der Diagonalen durch -1 ersetzen Alle Vielfache der Spalten, wo die -1 hinzugefügt wurde, stellen die Lösungsmenge dar.
Seien A und A' die Koeffizentenmatrix und die erweiterte Koeffizientenmatrix eines LGS. Wann existiert dann: mindestens eine Lösung? genau eine Lösung? mehr als eine Lösung? Rg (A) = Rg (A'), mindestens eine Lösung Rg (A) = Rg (A') = n, genau eine Lösung Rg (A) = Rg (A') != n, mehr als eine Lösung
Wann hat ein LGS keine Lösung? Wenn der Rang der Koeffizientenmatrix ungleich dem Rang der erweiterten Koeffizientmatrix ist.
Warum ist ein LGS wenn die Ränge von Koeffizientenmatrix und erweiterter Koeffizientenmatrix nicht übereinstimmen nicht lösbar? Es entstehen Widersprüche wie z.B: 0 = 8. In der Regel durch Nullzeilen der Koeffizientenmatrix denen keine 0 in der Inhomogenität gegenübersteht.
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