Komplekse Getalle Gr 10

Soorte Getalle

Ons gaan kyk na soorte getalle deur vergelykings op te los en te kyk watter soort getal die antwoord is:\(x-2=0\), dus \(x=2\) wat 'n natuurlike getal is \(N\)\(x+2=0\), dus \(x=-2\) wat 'n heelgetal is \(Z\)\(2x-1=0\), dus \(x=\frac{1}{2}\) wat 'n rasionale getal is \(Q\)\(x^2=2\), dus \(x=\sqrt2\) wat 'n irrasionale getal is \(Q'\)Let op dat al hierdie voorbeelde  reële getalle is. Dit kan as volg voorgestel word:

1c87d1b7-66ef-4d82-81af-7238802c08ff (image/jpg)

Komplekse Getalle

Kyk na die vergelyking: \(x^2=-1\)Die oplossing daarvoor is \(x=\pm\sqrt{-1}\)Maar dit is NIE 'n reële antwoord nie.Hierdie soort getal word Imaginêr genoem en die naam daarvoor is \(i\). Dit beteken dat \(i^2=-1\).Dit beteken bv. dat \(\sqrt{-16}=4i\).Wanneer hierdie getalle met reële getalle gemeng word, word dit Komplekse getalle genoem. Die simbool daarvoor is \(\mathbb{C}\).'n Voorbeeld daarvan is \(2+4i\).Die Komplekse getallestelsel bestaan dus uit alle Reële en Imaginêre getalle, asook alle kombinasies daarvan.

91eac224-a3f3-483c-855f-3d57c1413a9b.JPG (image/JPG)

Voorstelling van Komplekse Getalle

Komplekse getalle word op 'n twee-dimensionele vlak voorgestel, soos 'n \(x\)- en 'n \(y\)-as. Die \(x\)-as is die reële gedeelte en die \(y\)-as is die imaginêre deel daarvan. Op die skets hier lansgsaan is die getalle:\(z_1=2-3i\) en \(z_2=-3+i\) voorgestel.

0239c01a-980b-4e1a-89e4-ee3d813ca5b7 (image/png)

Bewerkings met Komplekse Getalle

Optel:Dit werk net soos algebra: Tel soortgelyke getalle bymekaar.Voorbeeld: \((2-3i)+(-4+5i)=-2+2i\) \((-1+4i)-(-5+2i)=4+2i\) Vermenigvuldig:Dit werk ook soos algebra, maal die hakies uit. MAAR onthou dat \(i^2=-1\)Voorbeeld:\((2-3i)(1+4i)=2+5i-12i^2=2-5i+12=14+5i\)

Deel:Wat ons hier gaan doen is om te sorg dat daar nie meer imaginêre getalle in die noemer is nie. Dit is dieselfde soort bewerking as om die noemer te rasionaliseer. Voorbeeld, deel met imaginêre getal:\(\frac{5}{i}=\frac{5}{i}\times\frac{i}{i}=\frac{5i}{i^2}=-5i\)Voorbeeld, deel met komplekse getal. Gebruik hier die beginsel dat, wanneer mens verskil van vierkante kry, die antwoord reëel is:\(\frac{2-i}{1+2i}=\frac{2-i}{1+2i}\times\frac{1-2i}{1-2i}\)         = \(\frac{2-5i+2i^2}{1-4i^2}=\frac{-5i}{5}=-i\)

Oefening

Probeer die volgende probleme, die antwoorde word regs gegee: \((3-4i)-(-1+2i)\) \(((3-4i)\times(-1+2i)\) \(\frac{3-4i}{2i}\) \(\frac{3-4i}{2-3ii}\)      

Antwoorde: \(4-6i\) \(5+10i\) \(-2-\frac{3}{2}i\) \(\frac{18+i}{13}\)

Magte van \(i\): \(i^1=i, i^2=-1, i^3=-i, i^4=1, i^5=i\) ens. Om dus uit te werk wat \(i^{51}\) is, sal mens 51 deel met 4 en kyk wat die res is: \(51\div 4=12 res 3\) en \(i^3=-i\), dus \(i^{51}=-i\).Grafiese optel van komplekse getalle: Mens trek die twee getalle, maak 'n parallelogram, en die hoeklyn (vanuit die oorsprong) gee die antwoord. Regs is 'n voorstelling van \(z_1=2-3i\) + \(z_2=-3+i\) Wat natuurlik gelyk is aan \(-1-2i\) wat by punt D afgelees kan word. Doen nou Oefening1 Komplekse getalle

1d243e96-1947-4f9d-8eb0-987a3d0cbcb2 (image/png)

Oefening 1

1.       Skryf die volgende in terme van i :           1.1    \( \sqrt{-25} \)                        1.2    \( \sqrt{-9 } \)                         1.3   \( \sqrt{-2} \) 2.       Vereenvoudig: 2.1      \(i^{102} \)                               2.2         \(  i^{63} \) 2.3    \(  (2+6i) - (4-2i) - (5+4i) \)                2.4        \(    i^{61} .(5-2i) \) 2.5     \( (2+4i)(5-2i)  \)                       2.6         \(   (2+5i)(2-5i) \) 2.7    \(  1+3i+ (3-2i) \)                       2.8         \(  5+2i+ (7+6i) \) 2.9     \( 5-7i-(2+3i)  \)                       2.10        \(  6+3i-(6-5i) \)  2.11  \(  3-2i(4+2i) \)                        2.12         \( 6-i(2+3i) \) 2.13    \(4+i(2-3i) \)                          2.14         \( 2+3i(1+4i) \) 2.15    \( (2+i)^2  \)                            2.16         \( (5-2i)^2 \) 2.17   \( 2i^3 (1-4i)^2 .(5-i)(5+i) \)   3.       As a+bi=z , bepaal die waardes van a  en b  in die volgende:           3.1     \( z=-2+i  \)               3.2  \(   z=(7-9i)( \frac{i}{2} -1) \)  

Oefening 2

1. Vereenvoudig: 1.1 \( \frac{5}{i} \) = -5i  1.2 \( \frac{-4}{i} \) = 4i  1.3 \( \frac{5i2}{-i} \) = -1+2i  1.4 \(\frac{4i}/{2+5i } \) 1.5 \frac{2-i}{2+i} \) 1.6 \frac{2+3i}{3-2i} \) 2. Bewys dat \( \frac{7+i}{3-i}=i^5 .(1-2i) \) 3. As m=2+5i en n=5-2i , bepaal die waarde van 3.1 2m-4n 3.2 \( 2m^2 \) 3.3 die toegevoegde van n 3.4 n(5+2i) 3.5 n2-mn 3.6 m4i 3.7 i^{22}×m 3.8 \( \frac{m}{n} \) 3.9 \( \frac{n}{m} \) 4. As a+bi=z , bepaal die waardes van a en b in die volgende: 4.1 \(z= \frac{4}{i} \) 4.2 \(z= \frac{4-2i}{1-i} )