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Mind Map by Marlon Stiven Rojas, updated more than 1 year ago
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Metodo de Eliminacion Gauss - Jordan
- QUE ES ?
- En matematicas, la eliminacion de Gauss - Jordan,
llamda asi debido a Carl Friedrich Gauss y Willhelm
Jordan, es un algoritmo de algebra lineal para
determinar las soluciones de un sistema de ecuaciones
lineales, tambie para encontrar matrices diversas. Un
sistema de ecuaciones se resuelve por el metodo de
Gauss cuando se obtienen soluciones mediante la
reduccion del sistema dado a otro equivalente en el
que cada ecuacion tiene una incognita menos que la
anterior
- ANTECEDENTES El metodo de eliminacion de Gauss
Jordan aparace en el capitulo ocho del imporntante
texto matematico chino Jiuzhang suanshu o los
nueve capitulos sobre el arte matematico. Su uso
se ilustra en dieciocho problemas, con dedos a
cinco ecuaciones. La primera referencia al libro por
este titulos date del 179 D.C., pero algunas de sus
partes fueron escritas tan pronto como alrededor
del 150 a. C.
- EL ANALISIS DE SU COMPLEJIDAD La complejidad
computacional de la eliminacion Guassiana es de
aproximadamente N a la 3 Lo que significa el
numero de operaciones que se necestian en el caso
de que la matriz sea de n x n.
- En matematicas, la eliminacion de Gauss - Jordan,
llamda asi debido a Carl Friedrich Gauss y Willhelm
Jordan, es un algoritmo de algebra lineal para
determinar las soluciones de un sistema de ecuaciones
lineales, tambie para encontrar matrices diversas. Un
sistema de ecuaciones se resuelve por el metodo de
Gauss cuando se obtienen soluciones mediante la
reduccion del sistema dado a otro equivalente en el
que cada ecuacion tiene una incognita menos que la
anterior
- EJEMPLOS
- ALGORITMO DE ELIMINACION: 1. Ir a la columna no cero
extrema izquierda, 2. Si la primera fila tiene un cero en esta
columna, intercambiarlo con otra que no lo tenga, 3. Luego
obtener cerso debajo de este elemento delantero,
sumando multiplos adeacuados del renglon superior a los
renglones debajo de el, 4. Cubrir el renglon superior y
repetir con el resto de los renglones, 5. Comenzando con el
ultimo renglon no cero, avanzar hacia arriba: para cada
renglon obtener un 1 delantero e introducir cerors arriba
de este sumando multiplos correspondientes a los
renglones correspondientes
- Supongamos que es necesario encontrar los numeros X Y Z que
satisfacen simultaneamente, entonces esto es llamado "sistemas
lineales de ecuaciones" . Debemos saber que el objetivo es el de reducir
el sistema a otro equivalente, que tenga las mismas soluciones.
Entonces las operaciones son:
- ALGORITMO DE ELIMINACION: 1. Ir a la columna no cero
extrema izquierda, 2. Si la primera fila tiene un cero en esta
columna, intercambiarlo con otra que no lo tenga, 3. Luego
obtener cerso debajo de este elemento delantero,
sumando multiplos adeacuados del renglon superior a los
renglones debajo de el, 4. Cubrir el renglon superior y
repetir con el resto de los renglones, 5. Comenzando con el
ultimo renglon no cero, avanzar hacia arriba: para cada
renglon obtener un 1 delantero e introducir cerors arriba
de este sumando multiplos correspondientes a los
renglones correspondientes
- OTRAS FORMAS
- Dos formas especiales de matrices son la escalonada y la escalonada reducida. Una matriz
puede tener las siguientes propiedades: 1. Todas las filas 1 estan enla parte inferior de la
matriz, 2. El elemento delantero de cada fila diferente de cero, este es llamado "PIVOTE", estos
estan a la derecha del elemento delantero de la fila anterior (esto supone que todos los
elementos debajo de un pivote son cero); si una matriz A cumple con esas propiedades, se dice
escalonada. Además, cumpliendo estas otras condiciones, decimos que la matriz se encuentra
en la forma reducida de renglón escalón o tan solo. Cuando una matriz representa a un sistema
de ecuaciones situaciones como tener una columna de ceros parece imposible ya que
correspondería a una variable que nunca habría aparecido. Sin embargo esta situación puede
presentarse (imaginemos la ecuación de un plano en el espacio en la que no aparece alguna de
las componentes, por ejemplo y+z=5). Así la matriz
- Dos formas especiales de matrices son la escalonada y la escalonada reducida. Una matriz
puede tener las siguientes propiedades: 1. Todas las filas 1 estan enla parte inferior de la
matriz, 2. El elemento delantero de cada fila diferente de cero, este es llamado "PIVOTE", estos
estan a la derecha del elemento delantero de la fila anterior (esto supone que todos los
elementos debajo de un pivote son cero); si una matriz A cumple con esas propiedades, se dice
escalonada. Además, cumpliendo estas otras condiciones, decimos que la matriz se encuentra
en la forma reducida de renglón escalón o tan solo. Cuando una matriz representa a un sistema
de ecuaciones situaciones como tener una columna de ceros parece imposible ya que
correspondería a una variable que nunca habría aparecido. Sin embargo esta situación puede
presentarse (imaginemos la ecuación de un plano en el espacio en la que no aparece alguna de
las componentes, por ejemplo y+z=5). Así la matriz
- OTRAS APLICACIONES DEL
METODO
- Es posible usar la eliminación gaussiana para encontrar inversas de matrices n × n. Para ello se aumenta
la matriz dada, digamos A con una matriz identidad, simplemente escribiendo las filas de la identidad a
continuación de las de nuestra matriz A, por ejemplo dada:
- Es posible usar la eliminación gaussiana para encontrar inversas de matrices n × n. Para ello se aumenta
la matriz dada, digamos A con una matriz identidad, simplemente escribiendo las filas de la identidad a
continuación de las de nuestra matriz A, por ejemplo dada:
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