2856363
Description
Mind Map by ISABELLA OSPINA SAENZ, updated more than 1 year ago
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Created by ISABELLA OSPINA SAENZ
over 9 years ago
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Teoría de Conteo
- Usadas para enumerar eventos difíciles de cuantificar
- Calculadora de
Combinaciones y
Permutaciones
- http://www.disfrutalasmatematicas.com/combinatoria/combinaciones-permutaciones-calculadora.html
- http://www.disfrutalasmatematicas.com/combinatoria/combinaciones-permutaciones-calculadora.html
- Calculadora de
Combinaciones y
Permutaciones
- Principio de multiplicación
- Si un evento A puede ocurrir de n1 maneras y
una vez que este ha ocurrido, otro evento B
puede n2 maneras diferentes entonces, el
número total de formas diferentes en que
ambos eventos pueden ocurrir en el orden
indicado, es igual a n1 x n2.
- ¿De cuántas maneras pueden repartirse 3 premios a un
conjunto de 10 personas, suponiendo que cada persona no
puede obtener más de un premio?
- Aplicando el principio fundamental del conteo, tenemos
10 personas que pueden recibir el primer premio. Una
vez que éste ha sido entregado, restan 9 personas para
recibir el segundo, y posteriormente quedarán 8
personas para el tercer premio. De ahí que el número de
maneras distintas de repartir los tres premios
- 10 x 9 x 8= 720
- ¿Cuántas placas de automóvil se pueden hacer utilizando dos letras
seguidas de tres cifras? No se admiten repeticiones.
- 26 x 25 (las 2 letras) x 10 x 9 x 8 = 468000
- Si, sin embargo, hay un gran número de posibles resultados tales
como el número de niños y niñas por familias con cinco hijos, sería
tedioso listar y contar todas las posibilidades. Las posibilidades
serían, 5 niños, 4 niños y 1 niña, 3 niños y 2 niñas, 2 niños y 3 niñas,
etc
- 5 x 4 x 1 x 3 x 2 x 2 x 3 x 1 x 4 x 5 = 14400
- 5 x 4 x 1 x 3 x 2 x 2 x 3 x 1 x 4 x 5 = 14400
- Si, sin embargo, hay un gran número de posibles resultados tales
como el número de niños y niñas por familias con cinco hijos, sería
tedioso listar y contar todas las posibilidades. Las posibilidades
serían, 5 niños, 4 niños y 1 niña, 3 niños y 2 niñas, 2 niños y 3 niñas,
etc
- 26 x 25 (las 2 letras) x 10 x 9 x 8 = 468000
- ¿Cuántas placas de automóvil se pueden hacer utilizando dos letras
seguidas de tres cifras? No se admiten repeticiones.
- 10 x 9 x 8= 720
- Aplicando el principio fundamental del conteo, tenemos
10 personas que pueden recibir el primer premio. Una
vez que éste ha sido entregado, restan 9 personas para
recibir el segundo, y posteriormente quedarán 8
personas para el tercer premio. De ahí que el número de
maneras distintas de repartir los tres premios
- ¿De cuántas maneras pueden repartirse 3 premios a un
conjunto de 10 personas, suponiendo que cada persona no
puede obtener más de un premio?
- Si un evento A puede ocurrir de n1 maneras y
una vez que este ha ocurrido, otro evento B
puede n2 maneras diferentes entonces, el
número total de formas diferentes en que
ambos eventos pueden ocurrir en el orden
indicado, es igual a n1 x n2.
- Permutación
- Tiene orden
- PP
Permutación...
Posición
- Repetición
- Una cerradura que se
puedan repetir los
números "333"
- Si tienes n cosas
para elegir y eliges
r de ellas
- n × n × ... (r veces) = n(elevado a)r
- Porque hay n posibilidades para la primera
elección, DESPUÉS hay n posibilidades para la
segunda elección (ya que se puede repetir) , y así.
- Por ejemplo en la cerradura de arriba, hay 10 números para elegir:
(0,1,...,9) y eliges 3 de ellos 10 × 10 × ... (3 veces) = 103 = 1000
permutaciones
- Por ejemplo en la cerradura de arriba, hay 10 números para elegir:
(0,1,...,9) y eliges 3 de ellos 10 × 10 × ... (3 veces) = 103 = 1000
permutaciones
- Porque hay n posibilidades para la primera
elección, DESPUÉS hay n posibilidades para la
segunda elección (ya que se puede repetir) , y así.
- n × n × ... (r veces) = n(elevado a)r
- Si tienes n cosas
para elegir y eliges
r de ellas
- Una cerradura que se
puedan repetir los
números "333"
- Sin Repetición
- Los tres primeros
puestos en una carrera,
dos personas no
pueden quedar de
primeras
- Se reduce el número
de opciones en cada
paso
- Por ejemplo, ¿cómo podrías ordenar 16 bolas de billar?
Después de elegir por ejemplo la "14" no puedes elegirla
otra vez
- Así que tu primera elección tiene 16 posibilidades, y tu siguiente elección
tiene 15 posibilidades, después 14, 13, etc. Y el total de permutaciones sería:
16 × 15 × 14 × 13 ... = 20,922,789,888,000
- Pero a lo mejor no quieres elegirlas todas, sólo 3 de ellas, así que sería solamente:
16 × 15 × 14 = 3360
- Es decir, hay 3,360
maneras diferentes
de elegir 3 bolas de
billar de entre 16.
- ¿Pero cómo lo escribimos
matemáticamente?
Respuesta: usamos la
"función factorial"
- Así que si quieres elegir todas las bolas de billar las permutaciones serían:
16! = 20,922,789,888,000
- Pero si sólo quieres elegir 3, tienes que dejar de multiplicar
después de 14. ¿Cómo lo escribimos? Hay un buen truco...
dividimos entre 13!...
- Pero si sólo quieres elegir 3, tienes que dejar de multiplicar
después de 14. ¿Cómo lo escribimos? Hay un buen truco...
dividimos entre 13!...
- Así que si quieres elegir todas las bolas de billar las permutaciones serían:
16! = 20,922,789,888,000
- Es decir, hay 3,360
maneras diferentes
de elegir 3 bolas de
billar de entre 16.
- Pero a lo mejor no quieres elegirlas todas, sólo 3 de ellas, así que sería solamente:
16 × 15 × 14 = 3360
- Así que tu primera elección tiene 16 posibilidades, y tu siguiente elección
tiene 15 posibilidades, después 14, 13, etc. Y el total de permutaciones sería:
16 × 15 × 14 × 13 ... = 20,922,789,888,000
- Por ejemplo, ¿cómo podrías ordenar 16 bolas de billar?
Después de elegir por ejemplo la "14" no puedes elegirla
otra vez
- Se reduce el número
de opciones en cada
paso
- Los tres primeros
puestos en una carrera,
dos personas no
pueden quedar de
primeras
- Tiene orden
- Combinación
- No tiene orden
- Repetición
- Monedas en un bolsillo
"500, 500, 200, 100, 50, 50"
- banana, chocolate, limón, fresa y vainilla. Puedes tomar 3 paladas.
¿Cuántas variaciones hay?
- Y para dejarlo claro: hay n=5 cosas para
elegir, y eliges r=3 de ellas. El orden no
importa, ¡y sí puedes repetir!
- Imagina que el helado está en
contenedores, podrías decir
"sáltate el primero, después 3
paladas, después sáltate los 3
contenedores siguientes" ¡y
acabarás con 3 paladas de
chocolate!
- Ahora puedes escribirlo como:
(la flecha es saltar, el círculo es
tomar)
- OK, entonces ya no nos tenemos que
preocupar por diferentes sabores, ahora
tenemos un problema más simple para
resolver: "de cuántas maneras puedes
ordenar flechas y círculos"
- OK, entonces ya no nos tenemos que
preocupar por diferentes sabores, ahora
tenemos un problema más simple para
resolver: "de cuántas maneras puedes
ordenar flechas y círculos"
- Como los ejemlos
anteriormente
dados:
- OK, entonces ya no nos tenemos que
preocupar por diferentes sabores, ahora
tenemos un problema más simple para
resolver: "de cuántas maneras puedes
ordenar flechas y círculos"
- Fíjate en que siempre
hay 3 círculos (3 paladas
de helado) y 4 flechas
(tenemos que movernos
4 veces para ir del
contenedor 1º al 5º)
- Así que (en general) hay r + (n-1)
posiciones, y queremos que r de
ellas tengan círculos
- Esto es como decir "tenemos r +
(n-1) bolas de billar y queremos
elegir r de ellas". Es decir, es como
el problema de elegir bolas de
billar, pero con números un poco
distintos.
- Es interesante pensar que podríamos habernos fijado en flechas en
vez de círculos, y entonces habríamos dicho "tenemos r + (n-1)
posiciones y queremos que (n-1) tengan flechas", y la respuesta sería la
misma...
- ¿Qué pasa con nuestro ejemplo, cuál es la respuesta?
- ¿Qué pasa con nuestro ejemplo, cuál es la respuesta?
- Es interesante pensar que podríamos habernos fijado en flechas en
vez de círculos, y entonces habríamos dicho "tenemos r + (n-1)
posiciones y queremos que (n-1) tengan flechas", y la respuesta sería la
misma...
- Esto es como decir "tenemos r +
(n-1) bolas de billar y queremos
elegir r de ellas". Es decir, es como
el problema de elegir bolas de
billar, pero con números un poco
distintos.
- Así que (en general) hay r + (n-1)
posiciones, y queremos que r de
ellas tengan círculos
- Fíjate en que siempre
hay 3 círculos (3 paladas
de helado) y 4 flechas
(tenemos que movernos
4 veces para ir del
contenedor 1º al 5º)
- OK, entonces ya no nos tenemos que
preocupar por diferentes sabores, ahora
tenemos un problema más simple para
resolver: "de cuántas maneras puedes
ordenar flechas y círculos"
- Y para dejarlo claro: hay n=5 cosas para
elegir, y eliges r=3 de ellas. El orden no
importa, ¡y sí puedes repetir!
- banana, chocolate, limón, fresa y vainilla. Puedes tomar 3 paladas.
¿Cuántas variaciones hay?
- Monedas en un bolsillo
"500, 500, 200, 100, 50, 50"
- Sin Repetición
- Números de lotería
"33, 2, 14, 15 ,27"
- Sólo tenemos que ajustar nuestra fórmula de
permutaciones para reducir por las maneras de
ordenar los objetos elegidos (porque no nos interesa
ordenarlos):
- Así que recuerda, haz las permutaciones, después
reduce entre "r!" ... o mejor todavía... ¡Recuerda la
fórmula!
- Sólo tenemos que ajustar nuestra fórmula de
permutaciones para reducir por las maneras de
ordenar los objetos elegidos (porque no nos interesa
ordenarlos):
- Números de lotería
"33, 2, 14, 15 ,27"
- No tiene orden
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