ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD

Estimados y tamaño de muestra

* Panorama general

* Estimación de la proporción de una población

* Estimación de la media poblacional: S conocida

* Estimación de la media poblacional: S desconocida

* Estimación de la varianza de una población

Panorama general

En este capítulo empezamos trabajando con el verdadero núcleo de la estadística inferencial, en tanto que usamos datos muestrales para hacer inferencias acerca de las poblaciones. En específico, usaremos datos muestrales para hacer estimados de parámetros de población. Por ejemplo, el problema del capítulo se refiere a los resultados de una encuesta que se aplicó a 829 adultos de Minnesota, el 51% de los cuales se manifestaron contra el uso de cámaras para expedir multas de tránsito. Con base en el estadístico muestral del 51%, estimaremos el porcentaje de adultos en la población de Minnesota que se oponen a la legislación de la cámara vigilante.

Las dos aplicaciones principales de la estadística inferencial implican el uso

de datos muestrales para:

1. Estimar el valor de un parámetro de la población.

2. Probar alguna aseveración (o hipótesis) acerca de una población.

En este capítulo introducimos métodos para estimar valores de dichos importantes parámetros de población: proporciones, medias y varianzas.

También presentamos métodos para determinar los tamaños de muestra necesarios para estimar tales parámetros.

1. Todos vemos proporciones con frecuencia en los medios de comunicación.

2. Por lo general, las personas tienden a interesarse más en datos que se expresan

como proporciones.

3. Por lo general, las proporciones son más fáciles de trabajar que las medias o

las varianzas.

Estimación de la proporción de una población

Una estrategia de estudio: Esta sección contiene mucha información e introduce

muchos conceptos. El tiempo que se dedique a esta sección será muy productivo, ya que introducimos el concepto de un intervalo de confianza, concepto general que se aplicará también en las demás secciones de este capítulo. Sugerimos que utilice esta estrategia de estudio: primero, lea la sección con el objetivo limitado de tratar simplemente de entender qué son los intervalos de confianza, para qué sirven y por qué se necesitan. Segundo, trate de desarrollar la habilidad de construir estimados del intervalo de confianza de las proporciones de una población. Tercero, aprenda a interpretar correctamente un intervalo de confianza. Cuarto, lea la sección una vez más e intente comprender la teoría que subyace. Siempre tendrá una sensación de mayor éxito si entiende lo que está haciendo, en lugar de aplicar a ciegas pasos mecánicos para lograr una respuesta que puede o no tener sentido.

He aquí el principal objetivo de esta sección: dada una proporción de muestra,

estimar el valor de la proporción poblacional p. Por ejemplo, el problema

incluye resultados que se basan en 829 adultos que se encuestaron, de los cuales el 51% se opone al sistema de cámara vigilante que utiliza cámaras para multar a conductores que se pasan la luz roja. El estadístico muestral de 51% puede representarse

como la proporción muestral de 0.51. Mediante el uso del tamaño de muestra n = 829

y la proporción muestral de 0.51 procederemos a estimar la proporción p de todos los

adultos de Minnesota que se oponen a la legislación de las cámaras vigilantes.

Esta sección considerará sólo casos en los que la distribución normal puede usarse como aproximación de la distribución muestral de proporciones muestrales.

Señalamos que en un procedimiento binomial con n ensayos y probabilidad p, si np > 5 y nq > 5, entonces la variable aleatoria binomial tiene

una distribución de probabilidad que puede aproximarse por medio de una distribución

normal (recuerde que q = 1 - p). Tales condiciones se incluyen entre los

siguientes supuestos que se aplican a los métodos de esta sección.

Supuestos

1. La muestra es aleatoria simple.

2. Las condiciones para la distribución binomial se satisfacen. Esto es, hay un

número fijo de ensayos, los ensayos son independientes, hay dos categorías de

resultados y las probabilidades permanecen constantes para cada ensayo.

3. La distribución normal resulta útil para aproximar la distribución de proporciones muestrales, ya que np > 5 y nq > 5 se satisfacen. (Puesto que p y q no

se conocen, usaremos la proporción muestral para estimar sus valores. Además, hay procedimientos para tratar con situaciones en las cuales la distribución normal no es una aproximación adecuada.

Recordemos que una muestra aleatoria simple de n valores se obtiene si cada muestra posible de tamaño n tiene la misma probabilidad de seleccionarse.

Este requisito de la selección aleatoria significa que los métodos de esta

sección no pueden usarse con ningún otro tipo de muestreo, como los muestreos estratificado, por racimos y de conveniencia. Debemos ser especialmente claros acerca de este importante punto:

Los datos reunidos con descuido pueden ser absolutamente inútiles,

aunque la muestra sea bastante grande.

Sabemos que muestras diferentes naturalmente producen resultados diferentes. Los métodos de esta sección suponen que esas diferencias muestrales son consecuencia de la posibilidad de fluctuaciones aleatorias, no de algún método insensato de muestreo.

Si usted fuese a realizar una encuesta de opinión acerca de las leyes de conducir

en estado de ebriedad, seleccionando una muestra de clientes de un bar, no debe usar los resultados para hacer un estimado de la proporción de todos los adultos estadounidenses.

Es muy probable que la muestra de clientes del bar sea una muestra sesgada, en el sentido de que no es representativa de todos los estadounidenses.

Suponiendo que hay una muestra aleatoria simple y se satisfacen los demás supuestos que ya se listaron, procedemos con nuestro objetivo principal: el uso de

la muestra como base para estimar el valor de la proporción poblacional p. Introducimos la nueva notación pˆ (llamada “p sombrero”) para la proporción muestral.

Notación para proporciones

p = proporción de la población

proporción muestral de x éxitos en una muestra de tamaño n

qˆ= 1 - pˆ proporción muestral de fracasos en una muestra de tamaño n

pˆ = x/n

Proporción, probabilidad y porcentaje Aunque esta sección se enfoca en

la proporción poblacional p, los procedimientos que aquí se analizan pueden aplicarse

también a probabilidades o porcentajes, pero los porcentajes deben convertirse a proporciones quitando el signo porcentual y dividiendo entre 100. Por

ejemplo, el 51% se expresa en forma decimal como 0.51. El símbolo p puede,

por lo tanto, representar una proporción, una probabilidad o el equivalente decimal de un porcentaje. Por ejemplo, si usted entrevista a 200 estudiantes de estadística y encuentra que 80 de ellos compraron calculadoras TI-83 Plus, entonces la proporción

muestral es pˆ = x/n = 80/200 = 0.400 y q = 0.600 (calculada de 1 - 0.400).

En lugar de calcular el valor de x/n, en ocasiones el valor de pˆ ya se conoce, puesto

que la proporción muestral o porcentaje se da directamente. Por ejemplo, si se reporta que se encuestaron 829 adultos de Minnesota y el 51% de ellos se oponen

a la ley de la cámara vigilante, entonces p= 0.51 y q = 0.49.

Si queremos estimar una proporción de una población con un solo valor, el mejor estimado es pˆ . Puesto que consiste en un solo valor, pˆ se llama un estimador puntual.

Un estimado puntual es un valor individual (o punto) que se usa para aproximar un parámetro de población.

Definición

La proporción muestral es el mejor estimado puntual en la proporción

poblacional p.

Usamos pˆ como el estimado puntual de p, ya que no está sesgado y porque es

el más consistente de los estimadores que puede usarse. No está sesgado en el sentido de que la distribución de las proporciones muestrales tiende al centro para el

valor de p; esto es, en las proporciones muestrales no tiende sistemáticamente a subestimar ni a sobreestimar p. La proporción muestral pˆ es

el estimador más consistente en el sentido de que la desviación estándar de la proporción muestral tiende a ser menor que la desviación estándar de cualquier otro estimador sin sesgo.

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EL USO DE TABLAS, GRÁFICAS Y MEDIDAS PERMITE DESCRIBIR EL COMPORTAMIENTO DE LA DISTRIBUCIÓN DE UNA VARIABLE...