Flo Lindenbauer
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Green'sche Funktion, Sturm-Liouville-Theorie, Differentialgleichungen der Fuchs'schen Klasse, Gamma-Funktion, Pochhammer-Symbole, Legendre-Polynome, folgt lose dem Skriptum "Mathematical Methods of Theoretical Physics": https://arxiv.org/abs/1203.4558

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Mathematische Methoden der Theoretischen Physik - Test 2

Question 1 of 15

1

Sei L ein Differentialoperator. Welche Voraussetzungen an L müssen gelten, damit die zu L gehörige Greensche Funktion mittels Fouriertransformation berechnet werden kann.

Select one or more of the following:

  • L ist translationsinvariant

  • L ist linear

  • Die Koeffizienten des Differentialoperators sind Polynome vom Maximalgrad 1

  • L ist ein homogener Differentialoperator

Explanation

Question 2 of 15

1

Fill the blank spaces to complete the text.

Gegeben sei ein Sturm-Liouville Problem.
Die Bedingung \(y(a) = y(b)=0\) nennt man Randbedingung.
Die Bedingung \(y'(a)=y'(b)=0\) nennt man Randbedingung.
Es gibt auch noch Randbedingungen der Form \(y(a)=y(b)\) bzw. \(y'(a)=y'(b)\)

Explanation

Question 3 of 15

1

Welche der folgenden linearen Differentialgleichungen 2. Ordnung können in die Sturm-Liouville Gestalt gebracht werden?

Select one or more of the following:

  • Lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten

  • Die Koeffizienten sind Polynome vom Maximalgrad 1

  • Differentialgleichungen der Fuchs'schen Klasse

  • Translationsinvariante Differentialgleichungen

Explanation

Question 4 of 15

1

Gegeben sei die Differentialgleichung
\(\frac d{dx}\left[p(x)\frac d{dx}\right]\phi(x)+[q(x)+\lambda\rho(x)]\phi(x)=0\)
\(x\in(a,b)\). Es sei weiters \(p'(x)\) und \(q(x)\) stetig und \(p(x)\gt0, \rho(x)\gt0\forall x\in(a,b)\)
Welche Aussagen treffen zu?

Select one or more of the following:

  • Die Eigenwerte sind komplex und abzählbar

  • Zu jedem Eigenwert gibt es eine Eigenfunktion

  • Es kann keine Aussage über die Nullstellen von Eigenfunktionen getroffen werden

  • Die Eigenfunktionen bilden eine Orthogonalbasis

  • Der Differentialoperator ist selbstadjungiert

Explanation

Question 5 of 15

1

Wie erhält man aus einer Differentialgleichung die Sturm-Liouville'sche Normalform, sofern sie existiert.

Select one of the following:

  • Fouriertransformation

  • Bilden des inversen Operators

  • Sturm-Liouville Transformation

  • Anwendung eines normalen Operators

Explanation

Question 6 of 15

1

Was darf nicht auftreten, damit ein Separationsansatz bei einer Differentialgleichung zum Erfolg führt?

Select one or more of the following:

  • Gemischte Ableitungen

  • Zweite Ableitungen

  • Der Laplace-Operator

  • Ableitung nach der Zeit

  • Ableitungen nach verschiedenen Variablen

Explanation

Question 7 of 15

1

Stimmt diese Gleichung?
\(\Gamma(n)=(n+1)!\)

Select one of the following:

  • True
  • False

Explanation

Question 8 of 15

1

Was ist eine Verallgemeinerung der Fakultät?

Select one or more of the following:

  • Pochhammer Symbol

  • Gamma-Funktion

  • Legendre-Polynome

  • Riemann'sche Differentialgleichungen

Explanation

Question 9 of 15

1

Wie ist das Pochhammer-Symbol definiert?

a) \((a)_n := (a+n)(a+n-1) \dots (a+2)(a+1)\)
b) \((a)_n:= (a+n)(a+n-1) \cdots (a+1)a\)
c) \((a)_n:= (a+n-1)(a+n-2) \cdots (a+2)(a+1)\)
d) \((a)_n:= (a+n-1)(a+n-2) \cdots (a+1)a\)

Select one of the following:

  • a

  • b

  • c

  • d

Explanation

Question 10 of 15

1

Wie kann die Fakultät geschrieben werden?

a) \(n!=\Gamma(n)\)
b) \(n!=\Gamma(n+1)\)
c) \(n!=\Gamma(n-1)\)
d) \(n!=(1)_n \), (Pochhammer-Symbol)
e) \(n!=(n)_n \), (Pochhammer-Symbol)
f) \(n! = B(2,n)\), Beta-Funktion

Select one or more of the following:

  • a

  • b

  • c

  • d

  • e

  • f

Explanation

Question 11 of 15

1

Gegeben sei die Differentialgleichung
\(y''(x)+a_1(x)y'(x)+a_2(x)y(x)=0\)
Wann ist die DGL eine Fuchsche Differentialgleichung?

Select one or more of the following:

  • Die Koeffizienten a_n sind an allen Stellen regulär

  • Die Koeffizienten a_n sind regulär bis auf endliche viele singuläre Stellen, wobei jede singuläre Stelle eine Stelle der Bestimmtheit ist.

  • Die Koeffizienten a_n sind regulär bis auf endliche viele singuläre Stellen

  • Die Koeffizienten a_n haben maximal Pole 3. Ordnung an einer einzigen Stelle

Explanation

Question 12 of 15

1

Gegeben sei eine lineare Differentialgleichung 2. Ordnung der Fuchs'schen Klasse. Wir führen einen verallgemeinerten Potenzreihenansatz (Frobenius-Methode) durch. Durch Bestimmung des charakteristischen Exponenten können wir erkennen, ob wir die allgemeine Lösung der Differentialgleichung leicht finden können. Wann ist dies nicht der fall?

Select one or more of the following:

  • Beide charakteristische Exponenten sind gleich

  • Beide charakteristische Exponenten sind verschieden

  • Die charakteristischen Exponenten unterscheiden sich um die Ordnung der Differentialgleichung

  • Die Charakteristischen Exponenten unterscheiden sich um eine ganze Zahl

Explanation

Question 13 of 15

1

Welche Normierung wählt man für die Legendre-Polynome?

Select one of the following:

  • Das Integral von -1 bis 1 zusammen mit einer Gewichtsfunktion muss 1 sein

  • Das Polynom muss an der Stelle 1 den Wert 1 haben

  • Das Polynom muss an der Stelle 0 den Wert 1 haben

  • Das Polynom muss an der Stelle -1 den Wert 1 haben

  • Die daraus resultierende Polynomfunktion muss gerade sein

Explanation

Question 14 of 15

1

Wie können die Legendre-Polynome erzeugt oder definiert werden?

Select one or more of the following:

  • Gram-Schmidt Verfahren angewandt auf die Monom-Basis mit anschließender Normierung

  • Eigenfunktionen einer bestimmten Differentialgleichung

  • Über die Rodrigues Formel

  • Als Koeffizienten der Taylor-Entwicklung einer bestimmten Funktion

  • Als Koeffizienten einer Fourier-Reihe einer quadratisch integrierbaren Funktion

Explanation

Question 15 of 15

1

Sei \(n\) gerade.
Wie ist die Doppelfakultät \(n!!\) definiert?

Select one or more of the following:

  • (n!)!

  • Produkt aller geraden Zahlen kleiner gleich n

  • Produkt aller ungeraden Zahlen kleiner gleich n

  • k! mal 2 hoch k, wobei k=n/2

  • Spur eines bestimmten unitären Operators

Explanation

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