DERIVADAS

Dayana Rodriguez Umbarilla. Valentina Espitia Ordoñez.Presentan: Derivada de una función. Pendiente de una curva. Recta tangente  y normal. Reglas de derivación. Regla de la cadena

DERIVADAS

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1. Variable de la función

El concepto de derivada de una función matemática se halla  relacionado con la definición de límite. Así, la derivada se entiende como la variación que experimenta la función de forma instantánea, es decir, entre cada dos puntos de su dominio suficientemente próximos entre sí.Dada una función f (x), se define variación de la función entre dos puntos de su dominio x1 y x2, siendo x1 creciente en el punto; si es negativa, la función es decreciente.Relacionada con este concepto, se llama variación media de una función f (x) en un intervalo [a, b] al cociente siguiente:f(b) -f(a)/b-aEl valor de este cociente coincide con la pendiente de la recta que pasa por los puntos de coordenadas (a, f(a)) y (b, f(b)).Cuando los dos puntos del intervalo [a,b] están lo suficientemente próximos entre sí, el cociente anterior indica la variación instantánea de la función. En tal caso, el valor de b podría expresarse como b = a + h, siendo h un valor infinitamente pequeño.

Derivada de una función en un punto.

Dada una función f (x), y considerado un punto a de su dominio, se llama derivada de la función en ese punto, denotada como f (a), al siguiente límite: f´(a)= lim f (a+h) - f(a) /h  Este límite también puede expresarse de las dos formas alternativas siguientes: f´(a)= lím. f(x) - f(a)/ x-a f´(a)= lím. ▲f(x)/ ▲x

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Caption: : Apoyo gráfico para la definición de derivada en un punto.

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Caption: : Derivada de una función en un punto xo

Para hallar la pendiente de una curva en algún punto hacemos uso de la recta tangente de una curva en un punto.La pendiente de la curva en el punto P es la pendiente de la recta tangente en P.En (x,f(x)) la pendiente m de la gráfica de y = f(x) es igual a la pendiente de su recta tangente en (x,f(x)) y queda determinada por la fórmula antes vista en derivadas de una función, suponiendo que el límite exista.Para calcular la pendiente de la recta tangente a una curva mediante la definición de límite seguimos los siguientes pasos: 1) Calcular : f(c+h) - f(c)/h2) Hacer  que h→0 para obtener la pendiente (m) o límite, no antes de haber realizado los respectivos procedimientos algebraicos. 

PENDIENTE DE UNA CURVA

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RECTA TANGENTE Y RECTA NORMAL

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 Recta tangente:Se llama tangente a una curva en un punto P a la recta que pasa por P con la misma dirección que la curva.La pendiente de la recta tangente coincide con la derivada de la función, y la de la recta normal con su inversa cambiada de signo.Ecuación de la recta tangente: y- f (x0) = f '0 (xo) (x-xo) La pendiente de la recta tangente. El valor aproximado de la pendiente de la recta tangente sería: tan=f (x) - f (x0)/ x - x0

Recta normal:Se llama recta normal a una curva, en un punto de la misma, a la perpendicular a la recta tangente en dicho punto. Ecuación de la recta normal: y - f (x0) = -1 / f '0 (x0) * (x - x0)

 Cuando la derivada se hace cero en un punto, entonces la tangente es una recta horizontal y = y0, y la recta normal es la recta vertical que pasa por el punto x = x0. Cuando la derivada se hace innita en un punto, entonces la tangente es la recta vertical que pasa por el punto x = x0, y la recta horizontal que pasa por el punto y = y0. EJEMPLO:Hallar la ecuación de la recta tangente y normal a la parábola y = x2 + x + 1 paralela a la bisectriz del primer cuadrante.La bisectriz del primer cuadrante tiene dce ecuación y = x, por tanto m = 1.f'(a) = 2a + 1 = 1 a = 0Punto de tangencia:(0, 1)Recta tangente:y − 1 = x y = x +1Recta normal:m= 1P(0, 1)y − 1 = −x y = −x + 1 

Curvas de tangente horizontal y curvas de tangente vertical

Deriva de una constante: (f(x)=c  f’(x)=0). No depende de ninguna variable y su derivada siempre será cero.                               Si f(x) = a, tendremos que f(x) = 0. Donde a es una constante.                                                                                           EJEMPLO: f(x)= 7                                                                                                                                                                      f(x)=0 Regla de la potencia: d(xª) /dx = axª−1. Lo primero que se debe hacer es bajar e exponente de tal forma que este multiplique a la variable con respecto a cual estamos derivando, luego al mismo exponente se le resta una unidad.                                    EJEMPLO:   dy/dx = d(5 · X^12) / dx                                                                                                                                                         = 5 · (dx^ 12)/ dx                                                                                                                                                         = (5)(12) ·X^11

Reglas de derivación

Regla de múltiplo constante: Si ƒ es una función derivable y c un número real, entonces cƒ también es derivable y d /dx (cf(x))=cf'(x)                                                                                                                                                               EJEMPLO: dy /dx = d /dx (2x^- 1 )                                                                                                                                                         = 2* d /dx (x ^-1 )                                                                                                                                                       = 2(-1)x^ -2 = -2/ x^ 2  Regla de la derivada de una suma y una diferencia.:La derivada de la suma (o de la diferencia) de dos funciones derivables ƒ y g es derivable en sí. Además, la derivada de ƒ g (o ƒ g) es igual a la suma (o diferencia) de las derivadas de ƒ y g.                       d /dx ( f(x) +- g(x)) = f'(x) +- g'(x)                                                                                                                                 EJEMPLO:  f(x)= x^3 - 4x + 5                                                                                                                                                       f '(x)= 3x^2-4

Regla del producto: f(x) * g(x)= f(x) * g'(x) + g(x) * f '(x). La derivada de un producto de dos funciones es equivalente a la suma entre el producto de la primera función sin derivar y la deriva de la segunda función y el producto de la deriva de la primera función por la segunda función.                                                                                                                                      EJEMPLO: (3X-2X^2)(5+4X)                                                                                                                                                        f '(X)= 3-4x     g'(x)=4                                                                                                                                    regla del producto: (3-4x)(5+4x)+(3x-2x^2)(4) = -24x^2 +4x +15 Regla del cociente: f(x)/g(x)= f '(x) g(x) - f(x) g '(x) / g(x)^2.                                                                                                 La derivada de un cociente de dos funciones es la función ubicada en el denominador por la derivada del numero menos la deriva de la función en el denominador por la función del numerador sin derivar, todo sobre la función del denominador al cuadrado.

Regla de la cadena

La regla de la cadena se usa para derivar funciones compuestas, una función compuesta se denota por g(t(x)), es decir, suponiendo tres conjuntos de números reales, X, Y, Z. Para cada x X , el numero t(x) está en Y . Como Y es el dominio de g se puede encontrar la imagen de t(x) bajo g . Este elemento en Z se denota por g(t(x)) . Al asociar g(t(x)) con x se obtiene una función de X a Z que se llama función compuesta. En f(x)g(t(x)) donde ut(x),si g(u) y t(x) sonderivables,entonces la derivada de esta función compuesta está dada por , pero ya que u t(x) , entonces la derivada está dada por:  f ' (x) = g' (t(x)) t' (x)EJEMPLO: d /dx(1+x^2)^3=3(1+x^2)^2 *d/dx*(1+x^2)                                                   =3(1+x^2)^2 (,2x)                              =6x(1+x^2)^2   

Bibliograf'ia:

Tomado de:http://www.hiru.com/matematicas/derivada-de-una-funcion 24 de julio de 2014 Tomado de:http://www.aves.edu.co/ovaunicor/recursos/1/index_3_Derivada_y_continuidad.pdf 24 de julio de 2014 Tomado de:http://facultad.bayamon.inter.edu/ntoro/derivadasfunalgebraicas.htm 24 de julio de 2014 Tomado de:https://www.google.com.co/search?q=PENDIENTE+DE+UNA+CURVA&espv=2&biw=1600&bih=731&source=lnms&tbm=is...24 de julio de 2014 Tomado de:http://www.dervor.com/derivadas/derivada_exponencial.html24 de julio de 2014 Tomado de:http://es.slideshare.net/george_iop/reglas-de-derivacion 24 de julio de 2014 Tomado de:http://datateca.unad.edu.co/contenidos/551109/Lecturas/30_Reglas_basicas_de_derivacion_y_razones_de_...24 de julio de 2014. Tomado de:http://www.wikimatematica.org/index.php?title=Reglas_del_producto_y_del_cociente#Ejemplo_.23_1 24 de julio de 2014 Tomado de:http://www.zweigmedia.com/MundoReal/tutorials/frames3_2.html 24 de julio de 2014